Задание 1. Доказать теоретико-множественное тождество. Проиллюстрировать его диаграммой Эйлера-Венна.
1. (A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C)
2. A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C)
3. A Ç (B \ C) = (A Ç B) \ (A Ç C)
4. A È B = (A D B) È (A Ç B)
5. A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C)
6. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C)
7. A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)
8. A D (A D B) = B
9. (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C)
10. A Ç (B \ C) = (A Ç B) \ C
Задание 2. Решить задачу.
1. Найдите число слов длины 6, составленных из букв латинского алфавита так, что две соседние буквы всегда различны.
2. Шахматная команда должна состоять из двух юношей и одной девушки. На первенстве факультета каждая команда должна сыграть со всеми другими один матч. Сколько матчей будет сыграно на этом первенстве, если в нем хотят участвовать 19 юношей и 6 девушек?
3. Согласно принципу Паули, движение электронов в атоме характеризуется 4 квантовыми числами, причем каждому электрону отвечает уникальный набор чисел. Это главное число n (целое), орбитальное число l, магнитное число ml и спин s. Известно, что l – целое число из диапазона от 0 до n–1, ml – целое от –l до l, s может равняться ½ или –½. Сколько элементов войдет в таблицу Менделеева, если n может принимать значения от 1 до 7?
4. Сколько разных букетов из 7 цветов можно составить, если в цветочном киоске продаются астры, хризантемы, розы, гладиолусы и гвоздики?
5. У водорода 3 изотопа: протий (1H), дейтерий (2H) и тритий (3H). У кислорода 3 изотопа: 16O, 17O и 18O. У серы 2 изотопа: 32S и 33S. Сколькими способами можно из атомов водорода, кислорода и серы составить молекулу серной кислоты?
6. Вдоль улицы стоят 9 фонарей. Будем говорить, что на улице страшно, если хотя бы 2 фонаря подряд не горят. Хулиганы хотят разбить 3 фонаря так, чтобы на улице стало страшно. Сколькими способами они могут это сделать?
7. У Германна колода из 52 карт. Сколькими способами он может выбрать из них 3 так, что это окажутся тройка, семерка и пиковая дама (в указанном порядке)?
8. В коробке 6 белых, 7 синих и 5 красных лент. Сколько разных флагов можно составить из 3 лент данного набора, сшивая их сверху вниз?
9. Казанова готовится к свиданиям с тремя красавицами, каждую из которых надо сводить в театр, кино или на один из 4 аттракционов в парк развлечений. Один билет в театр стоит 250 р., в кино – 200 р., на аттракцион – 100 р. Из-за очередей билеты надо покупать заранее, а красавицы капризны и о своем решении посетить театр, кино или какой-то из аттракционов сообщают в последний момент. В какую сумму Казанове обойдутся свидания?
10. На задней панели компьютера 4 свободных разъема, куда требуется не глядя подключить 3 кабеля (каждый разъем подходит лишь к одному кабелю). На подключение одного кабеля уходит 15 секунд, на включение-выключение компьютера и проверку правильности подключения (после того, как все три кабеля подключены) – 3 минуты. Спустя какое время можно гарантировать, что все три кабеля подключены верно?
Задание 3. Решить задачу.
1. Вычислить 200000014, не используя калькулятор. Умножать число 20000001 на себя «столбиком» запрещено.
2. В группе 15 человек. Сколькими способами можно разбить эту группу на две подгруппы при условии, что в каждой подгруппе должно оказаться не менее 5 человек?
3. В колоде 52 карты. Сколькими способами Германн может вытянуть 3 из них так, чтобы это оказались тройка, семерка, туз (в любом порядке)?
4. Определить, сколько рациональных слагаемых содержится в выражении (21/3 + 51/2)30.
5. В академической группе 20 человек, из них 14 изучают английский язык, 6 – немецкий. Сколькими способами можно разбить эту группу на три подгруппы по изучению иностранного языка, если количество «англичан» в подгруппах должно быть одинаковым?
6. Вычислить (x – 2y + z)4.
7. Отделение из 8 солдат требуется выстроить в 2 шеренги так, чтобы в каждой шеренге они стояли по убыванию роста. Сколькими способами это можно сделать?
8. На совещании присутствуют министр и 10 его подчиненных. Из их числа он должен назначить 2 первых заместителей, 3 заместителей и 1 секретаря. Сколькими способами он может это сделать?
9. В меню 8 блюд, на подносе умещаются 4 тарелки. Сколькими разными способами можно заполнить поднос, поставив на него хотя бы одну тарелку?
10. В выпуклом 8-угольнике проводят все возможные диагонали. Найдите количество точек их попарного пересечения строго внутри многоугольника. Считается, что никакие 2 диагонали не параллельны и никакие 3 не пересекаются в одной точке.
Задание 5. В отделе Кристобаля Хозевича Хунты работают X человек, каждый из которых знает хотя бы один иностранный язык. Известно, что E человек знают английский, D – немецкий, F – французский, P – английский и немецкий, Q – английский и французский, R – немецкий и французский. Выяснить:
а) сколько человек знают все три языка;
б) сколько человек знают ровно два языка;
в) сколько человек знает ровно 1 язык.
Проиллюстрировать решение диаграммой Эйлера-Венна.
1. X = 24, E = 10, D = 12, F = 18, P = 3, Q = 7, R = 8;
2. X = 26, E = 14, D = 16, F = 16, P = 6, Q = 7, R = 9;
3. X = 18, E = 13, D = 9, F = 7, P = 5, Q = 3, R = 4;
4. X = 17, E = 13, D = 8, F = 8, P = 6, Q = 5, R = 3;
5. X = 21, E = 14, D = 12, F = 11, P = 7, Q = 7, R = 6;
6. X = 23, E = 15, D = 12, F = 10, P = 6, Q = 7, R = 4;
7. X = 24, E = 12, D = 12, F = 15, P = 4, Q = 6, R = 7;
8. X = 24, E = 11, D = 14, F = 13, P = 3, Q = 5, R = 7;
9. X = 23, E = 12, D = 13, F = 6, P = 4, Q = 3, R = 3;
10. X = 28, E = 15, D = 13, F = 11, P = 5, Q = 4, R = 3.
