Фактор-группы циклических групп.

Утв.: G– цикл. группа H<G, тогда G/_H – цикл. группа ◄j: G®j(G) – гомоморфизм: Kerj= H<G. Th об эпиморфизме Þ j(G)@G/_H. Покажем j(G) – циклическая группа. ] G=<a>, тогда <j(a)>=j(G)►

] G– цикл. группа, |G|=p₁^a1… p_k^ak – простые числа. Тогда G@Zp₁^a1+^·…+^·Zp_k^ak (внешняя прямая сумма) ◄Сначала покажем, что если G=G₁+^·G₂, G_i=<g_i>, i=1,r, G– циклич. Û НОД(n₁,n₂)=1, где ordg₁=n₁, ordg₂=n₂. ■] НОД(n₁,n₂)=1. Выберем элемент g=(g₁+^·g₂), тогда

ordg=НОК(ordg₁,ordg₂)=ordg₁×ordg₂/НОД(ordg₁,

ordg₂)=n₁×n₂ Þ G– циклич. группа. //порядок элемента равен порядку группы G=<g>//. В обратную сторону: G– циклич. группа, т.е. G=<g>=<g₁^~,g₂^~>, но порядок

ord(g₁^~,g₂^~)=n₁×n₂=ordg₁^~×ordg₂^~/НОД(ordg₁^~,ordg₂^~)=НОК(n₁,n₂) Þ Заметим, что НОК(ordg₁^~,ordg₂^~)| НОК(n₁,n₂), т.е. n₁×n₂| НОК(n₁,n₂) Þ НОК(n₁,n₂)=1■ Из этого следует, что Zp₁^a1+^·…+^·Zp_k^ak – цикл. группа и |Zp₁^a1+^·…+^·Zp_k^ak|=p₁^a1…p_k^ak=|G| Þ G@Zp₁^a1+¢…+¢Zp_k^ak►

Замеч.: Рассмотрим две группы (р– простое число) G₁=Zp²(+) и G₂=Zp+¢Zp(+), |G₁|=|G₂|=p², G₁– циклич. G₂– не циклич., т.к. (a,b)Î Zp+¢Zp; org(a,b)=НОК(orga,orgb)= G₁@G₂ 3) При гомоморф. порожд. G₁ должен перейти в порожд. G₂, а этого не происходит, т.к. не изоморфизм, т.к. порядок изменяется ordg¹ord(j(g)).