Элементы математической логики

Согласно общим представлениям логика есть область научных знаний, в которой исследуются различные способы суждений и умозаключений и анализируются наиболее общие законы и формы мышления.

Основные определения

В математической логикевысказыванием называется повествовательное предложение (утверждение, суждение), которое может быть либо только истинным, либо только ложным. Высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита , , и т.д., которые назовем логическимипеременными (или пропозициональнымипеременными).

Пусть есть множество высказываний, а множество состоит из двух символов — 0 и 1 ( ). Установим отображение так, что каждому истинному высказыванию соответствует 1, а каждому ложному — 0. Символы 1 и 0 назовем значениямиистинности высказываний.

Из простых высказываний можно с помощью некоторых стандартных связок образовать новые (составные) высказывания. Саму процедуру применения логических связок называют логическими операциями.

Определение 1.Отрицанием высказывания называется высказывание, соответствующее словам: «не », «неверно, что ». Отрицание обозначается символом или ┐ и задается таблицей истинности .

Отметим, что отрицание является унарной логической операцией.

Определение 2.Конъюнкцией двух высказываний , называют третье высказывание (читается « и », другое обозначение конъюнкции & ), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно и истинно .

Определение 3.Дизъюнкцией двух высказываний , называется высказывание (читается « или »), которое ложно в том и только в том случае, когда ложно и ложно