Алгебраические структуры (продолжение)

1. Моноид ( X , * , e ), у которого для каждого элемента x  X существует обратный элемент x ^{ 1}  X, называется группой.

2. Четыре аксиомы, которым удовлетворяет группа.

3. Мультипликативная и аддитивная группа.

4. Группа с коммутативной бинарной операцией называется коммутативнойили абелевой.

5. Непустое подмножество H  G называется подгруппой группы G, если для любых h ₁ ,h ₂  H элемент h ₁ *h ₂  H и для любого h  H элемент h ^{ 1}  H.

6. Подгруппа H, отличная от E и G, называется собственной подгруппойгруппы G.

7. Таблица Кэли. Каждый столбец (строка) таблицы Кэли содержит все элементы группы.

8. Симметрической группой S_n называется множество всех биективных отображений множества X на себя, снабженное бинарной операцией композиции отображений.

9. Циклическая группа содержит все возможные целые степени одного и того же элемента a.

10. Если циклическая группа содержит только элементы e, a, a²,, aⁿ, то такую циклическую группу называют конечной(Card G = n). Если же для любого натурального n все степени aⁿ различны, то G называется бесконечнойциклической группой.

11. Сравнение по модулю m является отношением эквивалентности.

12. Группы G и H называются изоморфными(обозначение G  H), если существует биективное отображение f: G  H, "сохраняющее" групповую операцию, т.е.f(x * y) = f(x) f(y).

13. Три свойства изоморфизма.

14. Теорема.Кэли. Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S_n (без доказательства).

15. Теорема.Любая циклическая группа порядка m изоморфна группе Z_m классов вычетов по модулю m(без доказательства).