Элементы математической логики

Определение 4.Импликацией высказываний , называется высказывание («если , то », «из следует »), которое ложно в том и только в том случае, когда истинно, а ложно. Высказывание называютпосылкой, а высказывание – заключением импликации.

Определение 5.Эквиваленцией высказываний , называется высказывание (« равносильно »), которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний и совпадают

Пример 1.Пусть множество есть подмножество некоторого множества ( ). Рассмотрим два высказывания и соответственно: «элемент » и «элемент ». Тогда импликации соответствует следующее высказывание: «если элемент , то элемент ».

При этом трем различным положениям точки, отвечающей элементу на рис. 1, можно сопоставить три строки таблицы 4, в каждой из которых импликация принимает значение «истина». Действительно, ситуация, когда и , возможна, этой ситуации соответствует строка таблицы 4. Точно так же возможны еще два расположения точки – когда и (строка ) и когда и (строка ). Наконец, в рамках нашего условия ( ) абсолютно невозможно представить ситуацию, когда элемент и одновременно элемент (строка ). Таким образом, именно в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно, импликацию следует признать ложной.

Еще одно известное обоснование введения импликации с помощью таблицы 4 заключается в том, что импликация вводится таким образом, чтобы два составных высказывания: «из и следует » и «из и следует » всегда, т.е. при любых значениях истинности высказываний , , принимали только значение «истина».

Пример 2. Рассмотрим еще одну импликацию: «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

Определение 6.Выражение называетсялогической формулой (пропозициональнойформулой), если это выражение удовлетворяет следующим условиям:

1) любая логическая переменная есть формула;

2) если и — формулы, то (┐ ), ( ), ( ), ( ), ( ) тоже являются формулами;

3) других формул нет.

Пример 3. Выражение ┐ не является формулой, а запись ┐ )) представляет собой формулу. Действительно, в первом выражении между высказыванием и высказыванием ┐ вообще нет никакой логической связки, поэтому ┐ не является формулой.