Завдання 20

Нехай . Провести дослідження властивостей бінарного відношення :

а) якщо ; б) .

Розв’язування:

а) Побудуємо таблицю, в якій рядки відповідають першим елементам, а стовпчики – другим елементам пар . Знак «+» у таблиці означає, що відповідна пара входить в .


		+
		+
		+

Оскільки на головній діагоналі лише один «+», то відношення не є рефлексивним.

Таблиця несиметрична відносно головної діагоналі, тому відношення несиметричне.

За визначенням відношення є антисиметричним.

Для дослідження транзитивності побудуємо схеми:

Усі стрілки другої одержаної схеми входять до відношення , тому відношення є транзитивним.

Оскільки відношення не є симетричним, воно не є еквівалентністю.

Оскільки відношення не є рефлексивним, воно не є частковим порядком, а отже, не є і лінійним порядком.

За означенням відношення є відображенням, оскільки в кожному рядку рівно один «+».

Підсумуємо в таблиці усі зроблені висновки щодо властивостей відношення :

р	с	а	т	е	чп	лп	в	макс	мін	найб	найм
-	-	+	+	-	-	-	+	не розглядається

б) Побудуємо таблицю, в якій рядки відповідають першим елементам, а стовпчики – другим елементам пар . Знак «+» у таблиці означає, що відповідна пара входить в .


+
	+
		+

Оскільки усі клітинки головної діагоналі містять знак «+», то відношення є рефлексивним.

Таблиця симетрична відносно головної діагоналі, тому відношення симетричне.

За визначенням відношення є антисиметричним.

Для дослідження транзитивності побудуємо схеми:

Усі стрілки другої одержаної схеми входять до відношення , тому відношення є транзитивним.

Оскільки відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, то воно є еквівалентністю.

Оскільки відношення є рефлексивним, антисиметричним і транзитивним, то воно є частковим порядком.

Відношення не є лінійним порядком, оскільки відношення не містить, наприклад (1,2) та (2,1).

За означенням відношення є відображенням, причому бієкцією.

За означенням кожен з елементів є максимальним і мінімальним елементом одночасно, оскільки знаки «+» утворюють головну діагональ.

Повністю заповнених рядків і стовпчиків в таблиці нема, тому нема найбільших і найменших елементів.

Підсумуємо в таблиці усі зроблені висновки щодо властивостей відношення :

р	с	а	т	е	чп	лп	в	макс	мін	найб	найм
+	+	+	+	+	+	-	бієкція	1,2,3	1,2,3	–	–

Відповідь:

а)

р	с	а	т	е	чп	лп	в	макс	мін	найб	найм
-	-	+	+	-	-	-	+	не розглядається

б)

р	с	а	т	е	чп	лп	в	макс	мін	найб	найм
+	+	+	+	+	+	-	бієкція	1,2,3	1,2,3	–	–

Список літератури

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. –М.: Наука, 1977. – 368 с.

2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств: Пер. с англ. –М.: Мир, 1970. – 416 с.

3. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. –М.: Наука, 1984. – 224 с.