Операции над множествами. Дополнение, обьединение,пересечение,разность,симметрическая разность и прямое произведение множеств.

Определение 1.3. Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. При этом пишут A Ì B, где " Ì " есть знак вложения подмножества. Из определения следует, что для любого множества A справедливы, как минимум, два вложения A Ì A и A Ì U.

Определение 1.4. Если A Ì B и A ¹ B, A ¹ Æ, то A называетсясобственным подмножеством множества B. В этом случае B содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий A.

В теории множеств, по определению, полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì A.

Пустое множество и само множество A называются несобственными подмножествами множества A.

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна , на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника (рис 1.1).

Определение 1.5.Объединением множеств A и B (обозначение A ÈB) называется множество элементов x таких, что x принадлежит хотя бы одному из двух множеств A или B (рис 1.2). Символически это можно записать следующим образом:

A ÈB = {x|x Î A или x Î B}.

Определение 1.6. Пересечением множеств A и B (обозначение A ÇB) называется множество, состоящее из элементов x, которые принадлежат и множеству A и множеству B (рис. 1.3):

A ÇB = {x|x Î A и x Î B}.

Определение 1.7. Разностью множеств A и B называется множество всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B (рис. 1.4):

A\B = {x|x Î A и x Ï B}.

Определение 1.8. Симметрической разностью множеств A и B называется множество AD B = ( A\B )È( B\A ) (рис. 1.5).