Степенные ряды

Хотя название «бином Ньютона» и закрепилось за формулой

( x  y)n 

n

k  0

истинная заслуга Ньютона состоит в том, что ему удалось обобщить формулу (1) на случай произвольных показателей степени. Изучением этого обобщения мы займемся в п. 10.2. Ниже излагаются необходимые сведения о степенных рядах.

Формальным степенным рядом (от переменной z)

называется выражение вида

∞

∑ ak z k , (2)

k  0

где ak – члены числовой последовательности, называемые коэффициентами степенного ряда (2). Символ суммирования в (2), вообще говоря, формальный. Тем не менее (2) записывают также в виде

a0 + a1z + a2z2 + a3z3 +… .

Пусть даны формальные ряды

∞

∑ ak z k

k  0

∞

и ∑ bk z k . (3)

k  0

Их суммой по определению является ряд

∞

∑ (ak k  0

 bk ) z k .

Произведением рядов (3) называется ряд

∞

∑ сk z k ,

k  0

такой, что

ck = a0bk + a1bk–1 +…+ akb0

для всех k = 0, 1, 2,… . Заметим, что коэффициенты ck получаются так, как если бы в произведении рядов были раскрыты скобки и приведены подобные:

(a0 + a1z + a2z2 +…)(b0 + b1z + b2z2 +…) =

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)z + (a0b2 + a1b1 + a2b0)z2 +…

Производная ряда (2) определяется как ряд

a1 + 2a2z + 3a3z2 +… .

Несложно проверить, что так определенные сложение, умножение и дифференцирование рядов обладают привычными свойствами. Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны, сложение дистрибутивно относительно умножения. Производная суммы равна сумме производных. Справедливо также соотношение (uv)′ = u′v + uv′.

Говорят, что ряд (2) сходится при z = t, где t – некоторое

числовое значение, если существует предел

lim

n

∑ak t k . (4)

n→∞ k  0

Предел (4) в случае, когда он существует, называют суммой

∞

ряда при z = t и обозначают ∑ ak t k .

k  0

Любой степенной ряд сходится при z =0. Суммой ряда (2) в нуле является число a0. Если ряд сходится при z = t1, то он сходится и при любом z = t2, для которого | t2| < | t1|. Таким образом, если степенной ряд сходится в некоторой точке, отличной от нуля, то он сходится во всех точках некоторого открытого промежутка вида (–r, r), где r ∈(0; +∞]. На промежутке, в точках которого ряд сходится, его сумма задает

функцию. Пишут

f ( z) 

∞

∑ ak z k ,

k  0

имея в виду, что ряд в правой части сходится в некоторой окрестности нуля, и в каждой точке t из этой окрестности

∞

выполняется равенство

f (t ) 

∑ak t k .

k  0

Пример.Ряд

1 + z + z2 + z3 + …

сходится во всех точках промежутка (–1, 1). В каждой точке t ∈(–1, 1) этот ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем t. В

соответствии с известной формулой

1 + z + z2 + z3 + … =

1 . (5)

1 − z

∞

Если степенные ряды ∑ ak z k

k  0

∞

и ∑ bk z k

k 0

сходятся в

некоторой общей точке, то в этой точке сходятся их сумма и

∞

произведение; если степенной ряд

∑ak z k k  0

сходится в

некоторой точке, отличной от нуля, то в этой точке сходится и

его производная. Пусть,

Тогда:

f ( z) 

∞

∑ ak z k ;

k  0

g ( z) 

∞

∑ bk z k .

k  0

 ∞   ∞ 

 ∑ ak z k    ∑ bk z k  

f ( z)  g ( z) ;

 k 0

  k 0 

 ∞  ∞ 

 ∑ ak z k  ∑ bk z k  

f ( z) g ( z) ;

 k 0

 k 0 

∞

∑ kak z k −1 

k 1

f ′( z) .