Биномиальный ряд

Начнем с того, что запишем формулу (1) в виде

(1  z)n 

 n  k

∑   z

k

(6)

k ≥0 

трактуются как биномиальные коэффициенты,

 n 

обычно используется обозначение 

 ).

 k 

Заменяя в формуле (5) z на –z, получаем:

1 – z + z2 – z3 + … =

1 . (7)

1  z

По аналогии с (7) запишем последнее соотношение в виде

 − 1

(1  z)−1 

Сравнивая (7) и (8), получаем:

∑ 

k ≥ 0  k

 z k . (8)



 − 1

 − 1

Вообще,

   1; 

 0  

  −1, … .

1 

   (−1) .

 

Возьмем производную от обеих частей равенства (8):

 − 1

− (1  z)−2 

∑ k 

 z k −1 .

Полагая

 − 2 

 − 1

k ≥1

 − 2 

 k 

 − 1 

   −

 ; …; 

  −(k  1) ⋅

 ; … ,

 0 

 1 

 k 

 k  1

получаем равенство

 − 2 

(1  z)−2

 ∑ 

k ≥0 k

 z k .



Продолжая подобным образом, мы будем получать

равенства вида

 − n 

(1  z)−n

 ∑ 

k ≥ 0  k

 z k . (9)



Чтобы получить рекуррентные соотношения, связывающие биномиальные коэффициенты, продифференцируем обе

части (9):

 − n 

− n(1  z)−(n1) 

∑ k 

 z k −1 .

Следовательно,

k ≥1  k 

k  − n 

k  1 

− n 

(1  z)−(n1)  ∑ − 

 z k −1  ∑ −

  z k .

k ≥1

n  k 

k ≥ 0

n  k  1

Сравнивая это равенство с равенством вида (9) для

показателя n + 1, приходим к следующему соотношению:

 − (n  1) 

k  1 

− n 

   −

  . (10)

 k 

n  k  1

Используя (8) и (10) и применяя метод математической

индукции, нетрудно придти к следующему заключению:

 − n 

k n(n  1) ⋅K⋅(n  k − 1)

k C k

   (−1)

 k 

 (−1)

nk −1. (11)

Равенство (11) можно записать в следующем виде:

  

⋅(−n − k  1) . (12)

 

Формулу для числа сочетаний и (12) можно свести в одну общую формулу:

   , (13)

 

 k  k!

 

где  – положительное или отрицательное целое число.

На самом деле в качестве  можно взять любое

действительное число. При этом справедливо соотношение

 б 

 б 

 б 

(1  z)б

 1  

 z  

 z 2  

 z3  ... . (14)

 1 

 2 

 3 

Чтобы из (14) получить (13) достаточно продифференцировать k раз обе части равенства (14) и

подставить z =0:

 б 

 б 

б(б − 1)K(б − k  1)(1  z)б − k

 k!

  (k  1)!

 z  K;

 k 

 б 

 k  1

б(б − 1)K(б − k  1)  k! k  .

 

Пример.Покажем, что

 

 k 

 1 2   (−1)k  2 

(k  1)22k 1 . (15)

 k  1

 k 

   

В соответствии с (13) имеем:



  1 2 (1 2 − 1) ⋅K⋅(1 2 − k )  (−1)k 1⋅1⋅3 ⋅K⋅(2k − 1) .

 k  1

(k  1)!

2k 1(

 1)!

  k

Умножив числитель и знаменатель последней дроби на

2 ⋅ 4 ⋅⋅ 2k = 2k ⋅ k!,

получаем доказываемое соотношение:

 1 2



(2k )!

 (−1)k

1 (2k )!.

22k 1 k!(k  1)!

22k 1(k  1)

k!k!



Используя предыдущую формулу, вычислим начальные

коэффициенты разложения в ряд функции (1 + z)1/2. Получаем:

1 2 

1 2 

1 1 2 

1 1 2 

1 1 2  5

   1; 

 0  

  ; 

1  2 

  − ; 

2  8 

  ; 

3  16 

  − .

4  128

Таким образом,

1  z

 1  1 z − 1 z 2  1 z3 − 5 z 4  K .

2 8 16

Производящие функции и примеры их применения