Многопериодная модель

Теорема.Премия за опцион «колл» может быть вычислена по следующей формуле:

1  n 

C0 = n ∑

  pn − k qk (u n − k d k S0 − X ) , (10)

где

(1  r )

u n − k d k S0

 X  k 

S0 – текущая цена актива A,

u и d – соответственно коэффициенты повышения и понижения цены актива за один период;

r – безрисковая процентная ставка;

X – цена исполнения опциона «колл» на актив A;

n – число периодов до момента исполнения опциона.

До ка з а тел ь ст в о . Сначала заметим, что формула (10)

может быть записана следующим образом:

1 n  n 

C0 = ∑ 

 pn−k q k max(u n−k d k S0 − X ) =

(1  r )n k 0 k 

1 n  n 

= ∑ 

 p n−k q k Cn (u,..., u, d ,..., d ) .

(1  r)n k 0 k 

n − k раз

k раз

Теперь воспользуемся методом математической индукции. Как было установлено ранее, формула (10) верна для одного и для двух периодов (формулы (7), (8)), т. е. при n = 1 и n = 2. Покажем, что если формула (10) верна для n и меньшего числа периодов, то она верна и для n + 1 периода.

Итак, предположим, что срок исполнения опциона наступает через n + 1 период.

Как было установлено при анализе однопериодной модели,

справедливо следующее равенство:

C0 

1  r

 pC1

(u)  qC1

(d ). (11)

От момента t = 1 до момента t = n+1 проходит n периодов. В

случае, если за первый период цена актива повысилась, можно

воспользоваться формулой (10) для n периодов, считая S0u

текущей ценой актива. Получаем:

1 n  n 

C1(u) 

∑  p n−k q k max(u n−k 1d k S0 − X ) .

(1  r)n k 0 k 

Аналогично:

1 n  n 

C1(d ) 

∑  pn−k q k max(u n−k d k 1S0 − X ) .

(1  r )n k 0 k 

После подстановки в (11) находим:

1 n  n 

C0 = ∑

n−k 1 k

(1 )n1

  p

q max(u

d S − X ) +

r k 0



n n

+ 1 ∑ 

 n− k

k 1

n− k

k 1

(1 )n1

 p q

max(u

d S0 − X ) =

r k 0 

= 1 (1  r )

n 1

pn 1 max(u n 1S0

− X ) +

n n

+ 1 ∑ 

 n−k 1 k

n−k 1 k

(1 )n1

 p

q max(u

d S0 − X ) +

r k 1 

n  n

+ 1

(1  r )n1

∑ 

k 1



p

− 1

n − k 1qk

max(u

n − k 1d

k S0 − X ) +

+ 1 (1  r )

n 1

qn 1 max(d n 1S0

− X ) .

Воспользовавшись тождеством

 n 

 n  1

   

    ,

 k 

 k − 1

 k 

приходим к следующему равенству:

C0 =

(1 r )n 1

pn 1 max(u n 1S0 − X ) +

n n 1

+ 1 (1  r )

n 1

∑

k 1 k

p n−k 1q k





max(u

n − k 1d

k S0 − X ) +

+ 1 (1  r )

n 1

qn 1 max(d n 1S0

− X ) ,

откуда и следует, что

1 n1 n  1

C0 = ∑

n−k 1 k

(1  r)

n1

  p

k 0 k 

q max(u

d S − X ) ,

чем и завершается доказательство теоремы.

Преобразуем формулу (10). Пусть m – наибольшее целое число, для которого un–mdm S0 > X. Тогда

1 m  n 

C0 = ∑ 

 p n−k q k (u n−k d k S0 − X ) =

(1  r )n k 0 k 

S m  n 

X m  n 

= 0 ∑ 

 p n−k u n−k q k d k – ∑ 

 pn−k q k .

(1  r)n k 0 k 

(1  r )n k 0 k 

В теории вероятностей устанавливается следующий фундаментальный факт (формула Лапласа).

Если p и q – неотрицательные числа такие, что p + q = 1, то при больших значениях n имеет место приближенное равенство:

m  n 

 m − nq 

∑  pn−k q k ≈ N 

 , (12)

где

k 0 k 

 npq 

N ( x) 

1 ∫ e−t 2

2 −∞

/ 2dt –

так называемая функция нормального распределения.

Часто вместо функции N(x) используется функция

(x) = N(x) – 0,5 =

1 ∫ e−t 2

2 0

/ 2dt ,

таблица значений которой приводится, как правило, в любом

учебнике по теории вероятностей. Функция (x) нечетна,

монотонно возрастает и

lim

x →∞

( x)  0,5 . Значения, близкие к 0,5,

функция (x) принимает уже при сравнительно небольших значениях аргумента. Например, (3) ≈ 0,49865.

В соответствии с (12) имеем:

X m  n 

X  m − nq 

∑  pn−k q k ≈

N   .

(1  r )n k 0 k 

(1  r)n

 npq 

Заметим, что pu + qd = 1 + r. В самом деле:

pu + qd = 1  r − d u + u − (1  r) d

u − d

Положим

= (1  r )u − (1  r)d u − d

 1  r .

Так как p′ + q′ = 1, то

p′ 

pu ,

1  r

q′ 

qd .

1  r

S m  n 

m  n 

0 ∑ 

 p n−k u n−k q k d k = S0 ∑

 p′n−k q′k ≈

(1  r)n k 0 k 

k 0 k 

 m − nq′ 

S N .

≈ 0 





np′q′ 

Окончательно получаем следующее приближенное

равенство:

 m − nq′ 

X  m − nq 

N . (13)

C0 ≈

S0N 



 –

np′q′  (1  r)n

 

 npq 

Модификация (13) приводит к широко применяемой

формуле Блэка–Шоулза.

Пример.Текущая цена актива составляет 100 руб. За один день цена актива может увеличиться на 0,3% или уменьшиться на 0,3%. Безрисковая ставка равна 10%. Требуется определить премию за опцион «колл» на этот актив со сроком исполнения через 360 дней и ценой исполнения 105 руб. Имеем следующие исходные данные:

S0 = 100; X = 105;

1 + r = 1,11/360 = 1,00026;

u = 1,003; d = 0,997; n = 360.

Найдем наибольшее m, при котором

S0u360–mdm > X.

Логарифмируя, получаем неравенство

(360 – m)ln u + m ln d > 1,05,

откуда

m < (360 ln u – 1,05)/(ln u/d) ≈171,6,

так что m = 171. Вычисляем:

p  1,00026 − 0,997  0,54413;