Двух- и трехпериодные модели

Рассмотрим случай, когда срок исполнения опциона наступает в конце второго периода.

Введем следующие обозначения (рис. 3):

S0 – цена актива в момент времени t = 0;

S1(d) = S0d, S1(u) = S0u – цены актива в момент времени t = 1

в случае соответственно понижения или повышения цены;

S1(u,u) = S0u2 , S1(u,d) = S0ud, S1(d,u) = S0du, S1(d,d) = S0d2 – цены актива в момент времени t = 2 в зависимости от варианта развития событий (повышение оба раза, повышение–понижение и т.д.);

C0 – цена опциона в момент времени t = 0;

X – цена исполнения опциона;

C1(d), C1(u) – цены на опцион в момент времени t = 1 в случае соответственно понижения или повышения цены;

C2(x1,x2) = max{0, S2(x1,x2) – X} – цена опциона в момент времени t = 2 при изменении цены актива по сценарию (x1,x2)

(например, C1(u,d) = max{0, S2(u,d) – X}).

S0u

C1(u)

max(0,S0u2–X)

S0 S0ud max(0,S0ud–X)

C1(d)

S0d

max(0,S0d2–X)

Рис. 3

Фрагменты двухпериодной решетки, представленные на

рис. 4, являются однопериодными решетками.

S0u

C1(u)

max(0,S0u2–X)

S0d

S0ud max(0,S0ud–X)

C1(d)

max(0,S0d2–X)

Рис. 4

Применяя к ним формулу (7) для расчета цены опционов в однопериодной модели, получаем:

C1(u) 

1 r

 pC2

(u, u)  qC2

(u, d );

C1(d ) 

1 r

 pC2

(d , u)  qC2

(d , d ).

Применим еще раз те же формулы к однопериодной решетке, представленной на рис. 5, и воспользуемся тем,

что C2(d,u) = C2(u,d).

C1(u)

S0

C0

Получаем:

C1(d)

Рис. 5

C0 (u) 

1 r

 pC1

(u)  qC1

(d ) =

1 

=  p

1 pC

(u,u)  qC

(u,d) +

1  r 

1 r 2 2

1 

+ q

1 r

pC2 (d,u)  qC2 (d,d)=



= 1

(1 r)2

p 2C2

(u, u)  2 pqC2

(d,d). (8)

Пример.Пусть, как и в примере из предыдущего пункта, текущая стоимость актива равна 100 руб. Но теперь мы считаем, что изменения стоимости актива происходят дважды в год. За полгода стоимость актива может повыситься на 9,54% или понизиться на 7,80%. Полугодовой повышающий и понижающий коэффициенты равны соответственно u = 1,0954

и d = 0,9220. Заметим, что u2 = 1,20 и d2 = 0,85.

Безрисковая годовая ставка равна 10%. Полугодовая ставка

определяется из равенства 1 + r =

1,1  1,0488

и равна 4,88%.

Цена исполнения опциона «колл» со сроком исполнения в конце года равна 105 руб. Определим величину премии за опцион.

Сначала вычислим коэффициенты p и q:

p  1,0488 − 0,9220 ≈ 0,731,

1,0954 − 0,9220

Далее:

q  1,0954 − 1,0488

1,0954 − 0,9220

≈ 0,269 .

C2(u,u) = 120 – 105 = 15;

C2(u,d) = C2(d,u) = max{0, 100 – 105} = 0;

C2(d,d) = 0.

Таким образом (рис. 6):

C0 = 0,7312⋅15/1,1 = 7,29 руб.

C1(u) = 10,45

C2(u,u) = 15

C0 =

= 7,29

C1(d) = 0

C2(u,d) = 0

C2(d,d) = 0

Рис. 6

Пример.Опуская подробности, проведем расчеты для трехпериодной модели. Исходные данные:

S0 = 100 –текущая цена актива;

u = 1,201/3 = 1,0627, d = 0,851/3 =0,9473 – повышающий и понижающий коэффициенты изменения цены актива за 4 месяца;

r = 1,101/3 = 1,0323; 3,23% – безрисковая ставка за один

период;

X = 105 – цена исполнения опциона (со сроком исполнения в конце года – через три периода).

Вычислим коэффициенты p и q:

p  1,0323 − 0,9473 ≈ 0,737 ,

1,0627 − 0,9473

q  1,0627 − 1,0323

1,0627 − 0,9473

≈ 0,263.

Используя очевидные обозначения, последовательно вычисляем:

C3(u,u,u) = 120 – 105 = 15;

C3(u,u,d) = C3(u,d,u) = C3(d,u,u) = 106,27 – 105} = 1,27; C3(u,d,d) = C3(d,d,u) = C3(d,u,d) = max{0; 94,73 – 105} = 0; C2(u,u) = (15⋅0,737 + 1,27⋅0,263)/1,0323 = 11,03;

C2(u,d) = C2(d,u) = 1,27⋅0,737/1,0323 = 0,91;

C2(d,d) = 0;

C1(u) = (11,03⋅0,737 + 0,91⋅0,263)/1,0323 = 8,11;

C1(d) = 0,91⋅0,737 /1,0323 = 0,65;

C0 = (8,11⋅0,737 + 0,65⋅0,263)/1,0323 = 5,96.

Нетрудно заметить, что в общем виде формула для расчета премии за опцион в трехпериодной модели выглядит следующим образом:

p 3C3 (u,u,u ) 3 p

2 qC3 (u,u,d ) 3 pq

2C3 (u, d ,d )  q

3C3 (d ,d ,d )

C0 = 1 r 3

. (9)