Предположим, что инвестор в момент t = 0 покупает актив A по цене S0. За единицу времени от t = 0 до t = 1 стоимость актива может повыситься или понизиться. Пусть u и d – повышающий и понижающий коэффициенты, r – безрисковая процентная ставка и выполняется следующее условие:
d < 1 + r < u.
Инвестор хочет избежать риска, связанного с изменением стоимости актива к моменту t = 1. С этой целью он продает некоторое количество k (быть может, дробное) опционов
«колл» на актив A со сроком исполнения t = 1. Это означает, что инвестор принимает на себя обязательство продать k активов A в момент времени t = 1 по цене исполнения X. Требуется определить значение k и величину премии за опцион (в предположении, что транзакционные издержки отсутствуют).
Введем следующие обозначения (рис. 2):
S0 – цена актива в момент времени t = 0;
S1(u) = S0u – цена актива в момент времени t = 1 в случае повышения;
S1(d) = S0d – цена актива в момент времени t = 1 в случае понижения;
C0 – цена опциона в момент времени t = 0 (премия за опцион);
X – цена исполнения опциона;
C1(u) = max{0, S0u – X} – цена опциона в момент вре-
мени t = 1 в случае повышения;
C1(u) = max{0, S0d – X} – цена опциона в момент вре-
мени t = 1 в случае понижения.
S1(u) = S0u
C1(u) =
= max{0,S0u–X}
S0 C0
S1(d) = S0d
C1(d) =
= max{0,S0d–X}
Рис. 2
На покупку актива инвестор затратил S0, от продажи k опционов он получил kC0. В результате он стал владельцем портфеля, состоящего из одного актива и k опционов. На формирование этого портфеля затрачено S0 – kC0. Величина S0 – kC0 составляет стоимость портфеля в момент времени t = 0. Если бы эта сумма была размещена под безрисковую процентную ставку, то к моменту времени t = 1
она бы выросла до
(1 + r)(S0 – kC0). (1)
С другой стороны, стоимость портфеля в момент времени
t = 1 составит S1 – kC1, т. е.
S1(u) – kC1(u)
в случае повышения и
S1(d) – kC1(d)
в случае понижения. Если подобрать k так, чтобы выполнялось
равенство
S1(u) – kC1(u) = S1(d) – kC1(d), (2)
то портфель окажется безрисковым. Из (2) находим:
k S1(u) − S1(d) . (3)
C1(u) − C1 (d)
При таком k стоимость портфеля в момент времени t = 1
окажется равной
S1(d)C1 (u) − S1(u)C1(d) . (4)
C1(u) − C1 (d)
Так как портфель дает гарантированный доход, то в соответствии с принципом безарбитражности (прибыль без риска невозможна) его стоимость (4) должна совпадать наращенной суммой (1). Таким образом, получаем следующее равенство:
S (u) − S
(d)
S (d)C
(u) − S
(u)C
(d)
(1r)S0 − 1 1 C0 =
1 1 1 1 .
C1(u) − C1 (d)
C1(u) − C1 (d)
После несложных преобразований, учитывая, что S1(u) = S0u
и S1(d) = S0d, находим:
C 1
1 r − d
C1 (u
) u − (1 r )
C1(d
). (5)
Полагая
1 r
u − d
u − d
p 1 r − d ,
u − d
q u − (1 r) , (6)
u − d
формуле (5) можно придать следующий вид:
C0
1 r
pC1
(u) qC1
(d ). (7)
Пример.Пусть текущая стоимость актива равна 100 рублей. За год его стоимость может повыситься на 20% или понизиться на 15%. Безрисковая годовая ставка равна 10%. Цена исполнения опциона «колл» со сроком исполнения в конце года равна 105 руб. Определим величину премии за опцион.
Если цена актива вырастет и составит 1,2⋅100 = 120 руб., то владелец опциона воспользуется своим правом на покупку актива за 105 рублей. Следовательно, цена опциона C1(u) составит 120 –105 = 15 руб.
Если цена актива понизится и составит 0,85⋅100 = 85 руб., то владелец опциона свое право на покупку актива за 105 рублей использовать не станет, и цена опциона C1(d) будет равна нулю.
В соответствии с (6) и (7) находим коэффициенты:
p 1,1−0,85
1,2 − 0,85
≈ 0,714 ,
q 1,2 − 1,1
1,2 − 0,85
≈ 0,286
и премию за опцион:
C0
1,1
0,714 ⋅15 0,286 ⋅ 0 9,74
руб.
По формуле (3) можно найти число опционов, которые нужно продать, чтобы хеджировать риск, связанный с изменением цены актива за год:
k 120 − 85 ≈2,33.
15 −0
Предположим, в начале года инвестор покупает 30 единиц актива A, заплатив 3000 рублей. Одновременно он продает 70 опционов с ценой исполнения 105 рублей. От продажи опционов инвестор получает 9,74⋅70 = 681,80 руб., которые размещает под 10%. К концу года сумма, полученная от продажи опционов, вырастет до 749,98 рублей.
Если стоимость актива к концу года вырастет, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить
120⋅30 = 3600 руб. При этом ему придется выполнить обязательства по 70 опционам, купив 70 единиц актива по
120 рублей. и продав их владельцам опционов по 105 рублей.
На это придется потратить 120⋅70 – 105⋅70 = 1050 руб.
Доход на конец года составит в этом случае
49,98 + 3600 – 1050 = 3299,98 руб.
Если стоимость актива к концу года понизится, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить
85⋅30 = 2550 руб. Обязательств по опционам не возникнет, так что и в этом случае доход на конец года составит 749,98 + 2550 = 3299,98 руб.
S1(u) = S0u
= max{0,S0u–X}
k S1(u) − S1(d) . (3)
S1(d)C1 (u) − S1(u)C1(d) . (4)
C1 (u
p 1 r − d ,
1 r
p 1,1−0,85
1,2 − 0,85
1,1
k 120 − 85 ≈2,33.