Сочетания

Есть также два типа сочетаний (запомните, порядок не имеет значения):

• с повторениями: например, монеты в кармане (5,5,5,10,10)
• без повторений: например, лотерейные номера (2,14,15,27,30,33)

1. Сочетания без повторений

Принцип работы лотереи. Взяты номера каждый один раз, и если у вас есть счастливые номера (независимо от того, в каком порядке) вы выиграли!

Самый простой способ объяснить это состоит в следующем:

• предполагается, что порядок имеет значение (т.е. перестановки),
• затем изменить его таким образом, чтобы порядок не имел значения.

Возвращаясь к нашему примеру с бильярдными шарами, скажем, что вы просто хотите знать, какие 3 бильярдных шара были выбраны, порядок вас не интересует.

Мы уже знаем, что 3 из 16 дает нам 3360 перестановок. Порядок нас не интересует.

Например, скажем шары 1, 2 и 3 были выбраны. Существуют такие варианты:

Таким образом, перестановок будет в шесть раз больше.

На самом деле есть простой способ решить, сколько существует возможных комбинаций из "1 2 3", и мы уже говорили об этом. Ответ на этот вопрос:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Другой пример: 4 вещи, могут быть размещены в 4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 различными способами)

Итак, все, что нам нужно сделать, это преобразовать нашу формулу для перестановок уменьшив её,сколькими способами объекты могут быть выбраны если порядок имеет значение:

Таким образом формула сочетаний без повторений имеет вид:

где n это количество вещей на выбор, и вы выбираете r из них (Нет повторения, порядок не имеет значения)

Также известна формула как "биномиальный коэффициента"

Обозначение

Так же как и "большие скобки", люди также используют эти обозначения:

Пример

Итак, наш пример с бильярдным шаром (теперь без порядка) является:

Или вы могли бы сделать это таким образом:

Так что помните, сделайте перестановку, затем уменьшить еще на " r!"

... или, еще лучше ...

Помните Формулу!

Треугольник Паскаля

Вы также можете использовать треугольник Паскаля чтобы найти значения. Спуститесь в строке " n " (верхняя строка = 0), а затем на " r " место и значения есть ответ. Вот отрывок, отражающий строку 16:

1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...

2. Сочетания с повторением

Скажем, есть пять вкусов мороженого: банан, шоколад, лимон, клубника и ваниль. Вы можете выбрать три шарика. Сколько вариаций будет?

Давайте использовать буквы для вкуса: {B, C, L, S, V}. Пример выбора будет

• {C, C, C} (3 шарика шоколада)

• {B, L, V} (по одному из банана, лимона и ванили)

• {B, V, V} (один из банана, две из ванили)

(Уточним: Есть n = 5 вещей на выбор, и вы выбираете r = 3 из них.
Очередность значения не имеет, и вы можете повторить!)

Трудно описать как это рассчитать, однако объяснить принцип можно.

	Представьте мороженное находящееся в контейнерах, можно сказать, "Движемся минуя первый контейнер, а затем берем 3 шарика, а затем движемся еще по 3 контейнерам до конца", и у вас будет 3 шарика шоколада!

Теперь вы можете записать это как (Стрелка означает движение, круг означает – берем мороженное).

Приведенные примеры будут записаны следующим образом:

{C, C, C} (3 шарика шоколад):
{B, L, V} (по одному из банана, лимона и ванили):
{B, V, V} (один из банана, две из ваниль):

Итак, вместо того чтобы беспокоиться о различных вкусах, у нас есть более простая проблема: «как много различных способов существует что бы организовать стрелки и круги"

Обратите внимание, что всегда есть 3 круга (3 шарика мороженого) и 4 стрелки (нужно двигаться 4 раза, чтобы перейти от 1-го до 5-го контейнера).

Так что есть r + (n-1) позиций, и мы хотим выбрать r из них.

Это все равно что сказать "у нас есть r + (n-1) бильярдных шаров и хотите выбрать r из них". Другими словами, это теперь как задача с бильярдными шарами, но со слегка измененными числами. И формулу можно написать так:

где n это количество вещей на выбор, и вы выбираете r из них (С повторением, порядок не имеет значения)

Интересно, что мы могли бы посмотреть на стрелки вместо кругов, и мы бы тогда говорили, "у нас есть r + (n-1) позиции и хотите выбрать (n-1) из них, чтобы получить стрелки», а Ответ будет таким же ...

Так, что относительно нашего примера, каков ответ?