Перестановки

Существуют два основных типа перестановки:

С повторением: такие, как замок выше. Код может быть "333".
Без повторений: например, первые три человека в соревнованиях по бегу. Вы не можете быть и первым и вторым одновременно

1. Перестановки с повторениями

Они самые простые для расчета.

Когда у вас есть n вещей на выбор ... У вас есть n шансов каждый раз!

При выборе r из них, перестановки:

n × n × ... (r раз)

(Другими словами, имеется n возможностей для первого выбора, потом есть n возможностей для второго выбора, и так далее, умножая их каждый раз.)

Что легче записать используя степень г:

n × n × ... (r раз) =n ^r

Пример: в замке выше, есть 10 номеров на выбор (0,1, .. 9) и вы выбираете 3 из них:

10 × 10 × ... (3 раза) = 10 ³ = 1000 перестановок

Таким образом, формула перестановок с повторениями:

n ^r

где n это количество вещей на выбор, и вы выбираете r из них (С повторением, порядок имеет значение)

2. Перестановки без повторений

В этом случае, вы должны сокращать количество возможных вариантов каждый раз.

Например, в каком порядке могут быть вытянуты 16 шаров из урны? После выбора, говорим, число "14" вы не можете выбрать его снова.

Итак, ваш первый выбор будет иметь 16 вариантов, и ваш следующий выбор в таком случае будет иметь 15 вариантов, далее 14, 13 и т.д. А общее число перестановок будет выглядеть так:

16 × 15 × 14 × 13 × ... = 20.922.789.888.000

Но, возможно, вы не хотите выбрать их все, а только 3 из них, тогда:

16 × 15 × 14 = 3360

Другими словами, существует 3360 различных вариантов, которыми 3 шара могут быть выбраны из 16 шаров.

Но как мы можем написать, это математически? Ответ: Мы используем " функцию факториала "

Функция факториала (символ:!) означает умножить ряд убывающих натуральных чисел. Примеры:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

Обратите внимание: общепринято, что 0! = 1.

Итак, если вы хотите выбрать все бильярдные шары, перестановка будет выглядеть так:

16! = 20.922.789.888.000

Но если вы хотите выбрать только 3, то вы должны остановиться после 14. Как это сделать? Существует следующий способ ... Вы делите на 13! ...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

16! / 13! = 16 × 15 × 14

Формула перестановок без повторений выглядит следующим образом:

где n это количество вещей на выбор, и вы выбираете r из них (Нет повторений, порядок имеет значение)

Примеры:

Сколькими способами может первое и второе место быть присуждено из 10 человек?

10! = 10! = = 90

(10-2)! 8!

(То же, что и 10 × 9 = 90)

Обозначение

Вместо того чтобы писать всю формулу, люди используют различные обозначения, такие как эти:

Пример: P (10,2) = 90