Операции над множествами

Объединением множеств A и B (A È B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е

A È B = {а ½ а ÎA или а Î B}.

Пересечениеммножеств A и B (A Ç B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е.

А Ç B = {а ½а ÎАи а Î B}.

Разностью множеств А и B (А \ B) называется множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B, т.е.

А \ B={а ½а ÎА и а Ï B}.

Дополнениеммножества А в универсальном множестве U ( , ØА) называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е.

ØА = U \ A

Симметрической разностью множеств A и B(обозначается A Å B или ) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.

A D B = {а½ либо а Î A и а Ï B, либо а Ï A и а Î B},

A D B = (A \ B)È (B \ A) = (AÈB) \ (AÇB).

Например:

1) Пусть множества и заданы на универсуме

, .

Тогда, , , , , , , .

2) Пусть , .

Тогда, , , , , , .

Операции над множествами можно проиллюстрировать графически с помощью кругов Эйлера(их также называют диаграммами Венна). В этом случае исходные множества изображают кругами или любыми другими замкнутыми линиями, а множество-результат выделяют штриховкой. Универсум обозначают прямоугольником.

Основные законы алгебры множеств:

1) Коммутативные законы

А È В = В È А

А Ç В = В Ç А

А D В = В D А

2) Ассоциативные законы

А È (В È С) = (А È В) È С

А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С

3)Дистрибутивные законы

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

4)Законы с Æ и U

А È Æ = А А Ç U = А А È = U

А Ç Æ = Æ А È U = U А Ç = Æ

= Æ = U

6) Законы идемпотентности

А Ç А = А А È А = А = А

7) Законы поглощения

А È (А Ç В) = А А È ( Ç В) = А È В

А Ç (А È В) = А А Ç ( È В) = А Ç В

8) Законы де Моргана

______

A Ç B = È

_______

A È B = Ç

9) Законы склеивания

(А Ç В) È ( Ç В) = В

(А È В) Ç ( È В) = В