Пусть А и В – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит А, а второй принадлежит В:
A ´ B = {(a, b) ½ a Î A & b Î B}
Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя:
Соответственно, А1 = A, A2 = A ´ A и вообще Аn = A n–1 ´ A.
Пример. А = {a, b}, B = {1, 2, 3}.
A ´ B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
B ´ A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
A ´ B ¹ B ´ A (Декартово произведение не подчиняется коммутативному закону, и A ´ B = B ´ A справедливо, если А = В)
A2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
A3 = {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a),
(b, b, b)}
Контрольные вопросы
1. Перечислите элементы множества M = {x ½ x Î Z & x2 < 100}, где Z – множество целых чисел.
2. Установите истинность или ложность следующих утверждений:
а) {2} Î {1, 2, 3, 4, 5}
б) Æ = {Æ}
в) x Î {2, a, x}
г) 3 Î {1, {2, 3}, 4}
3. Равны ли между собой множества А и В? Если нет, то почему?
а) А = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2}
б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4}
в) A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6}
г) A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6}
4.Определите, какие из следующих утверждений истинны, а какие ложны:
а)A ∩ Æ = A;
б)A ∆ A = Æ;
в) A \ A = A;
5. Пусть X = {0, 1}, Y = {a, b}. Найти:
а) X ´ Y
б) Y ´ X
в) X2
г) X ´ Y ´ X
д) X ´ Æ
