- Розглянемо алгебраїчні структури ({а, Ь, с, сі}, ®) і ({а, Ь, с}, ®), де операції ® і ® задані таблицами:
| ©
| и
| b
| с
| d
|
| а
| а
| b
| с
| d
|
| b
| h
| с
| d
| a
|
| с
| с
| d
| a
| b
|
| d
| d
| a
| b
| с
|
Для кожної алгебраїчної структури визначте:
А) чи комутативна операція?
Б) чи асоціативна операція?
В) чи існує одиниця для коленої операції, якщо існує, то який це елемент?
Г) якщо одиниця існує, визначте, які елементи мають обернені?
19. Визначте алгебраїчну структуру (й, ®), таку, що для будь-якої ггідмножини ГсЙ правильно, що (Т, ®) — підструктура структури (5, Ф).
20. Визначте, чи коректно задана алгебраїчна структура. Якщо так, визначте, чи комутативна операція і, якщо можливо, знайдіть одиницю і обернені елементи. Тут N — множина натуральних чисел, 2— множина цілих чисел, Я,—додатна підмножина множини дійсних чисел:
а) (Л^, ®); х 0 у = х - у;
б) (£, ®); х®у*=х*у - 1;
в) (ІУ, ®); х ® у = тах(х, у)\
г) (#+, ®); х ® у = х/у.
21. Доведіть, що:
а) дві алгебраїчні структури не можуть бути ізоморфними, якщо множини-носії цих структур мають різні потужності;
Б) дві алгебраїчні структури можуть не бути ізоморфними, якщо множини-носії цих алгебр мають однакові потужності.
22. Нехай С — множина структур з однією бінарною операцією, С = {5і, вг, —}• Визначимо відношення ~ на множині С, таке, ЩО 5; ~ виконується, ЯКЩО 5/ І ізоморфні. Доведіть, що ~ є відношенням еквівалентності на множині С.
24 Найпростіші алгебраїчні структури
