Визначення

Гомоморфізм, який є бієкцією, називають ізоморфізмом.

Якщо існує ізоморфізм між двома структурами, то говорять, що вони ізоморфій одна одній.

Таким чином, для будь-якого ізоморфізму <р існує обернене відображення ф~\ також взаємно однозначне. Якщо існує ізоморфізм структури S у структуру Q, то існує й ізоморфізм QУ S.

Відношення ізоморфізму— це відношення еквівалентності на множині алгебраїчних структур, тому ізоморфізм розбиває множину всіх алгебраїчних структур на класи еквівалентності. Використовуючи ізоморфізм, можна здійснювати еквівалентні перетворення алгебраїчних структур. Якщо алгебраїчні структури S і Q ізоморфні,то елементи і операції Q можна перейменувати так, що Q співпадає з S. Будь-яке співвідношення у структурі S зберігається у будь-якій ізоморфній їй структурі Q. Це дозволяє, одержавши певні співвідношення у структурі S, автоматично поширити їх на всі структури, що ізоморфні S. Тому алгебраїчні структури часто розглядаються з точністю до ізоморфізму, тобто розглядаються класи еквівалентності за відношенням ізоморфізму.

Приклад. Розглянемо спосіб вимірювання довжини у дюймах та сантиметрах. Якщо додати бінарну операцію додавання, то одержимо дві структури: (inch, +), (см, +). Визначимо ізоморфізм у: х(см) = 2,54 * х(inch).

Як показано на діаграмі (рис. 3.6), ми можемо провести обчислення (дода- нминя) у дюймах, а потім перевести результат у сантиметри, і також можливо спочатку зобразити ті ж операнди в сантиметрах і потім провести додавання.

И обох випадках буде одержано один І той же результат. Наприклад, нехай необхідно визначити довжину d деякого »пробу, що складається з частин аі Ь.Виміривши частини їїі Ьу дюймах, одержали, що а= 10", Ь*= 15". Знайдемо d дії'»ми способами:

(І = 10" 4-15" = 25", 2,54 * 25" = 63,5 см;

(І 10" * 2,54 + 15" * 2,54 = 25,4 см + 38,1 см - 63,5 см.

Для цього прикладу комутативна діаграма виглядає таким чином (рис. 3.7):

(10",15")

(25,4 см, 38,1 см)

Рис. 3.7. Перетворення окремих елементів при ізоморфізмі у з (inch, +) у (см, +)

Відображення є ізоморфізмом, оскільки у — однозначна відповідність та існує обернене відображення у': х (inch) =

18.0,39 * х (см).

Наведемо ще два приклади ізоморфізмів.

Приклад.Нехай Z — множина всіх цілих чисел, Z₂n — множина всіх парних чисел. Алгебри (Z; +) і (Z₂n', +) ізоморфні. Ізоморфізмом є відображення ср₂л-: п -» 2л для всіх п є Z.

Приклад.Ізоморфізмом між алгебраїчними структурами (Я,, *) і (Я, +), де Я,. — додатна підмножина Я, є відображенням а -» loga. Умова гомоморфізму ф (х ® у) = ер (х) Ф ф (у) у цьому випадку має вигляд log(a * b) — loga + log&.

Запитання

18 Дайте визначення алгебраїчної структури.

19 Що називається підструктурою алгебраїчної структури? Яким відношенням пов’язані множини-носії алгебраїчної структури та її підструктури? Наведіть приклади підструктур.

20 Дайте визначення гомоморфізму та ізоморфізму. Чим вони відрізняються ?

21 За допомогою чого здійснюється розбиття алгебраїчних структур на класи еквівалентності?

22 Наведіть приклади ізоморфних алгебраїчних структур.

23 Наведіть приклад гомоморфізму, що не є ізоморфізмом. Поясніть, чому обране вами відношення не ізоморфізм.