Визначення

Групою називають множину О з бінарною операцією ®,

що замкнена в С, такою, що

25 ® асоціативна:

х ® (у ® г) = (х ® у) ® 2 для всіх х> у, г є <3.

25.Існує елемент е є Є — одиниця відносно ®: е®х = х®е = х ДЛЯ ВСІХ X є С.

26.Кожному елементу х є Є відповідає обернений елемент х' є(З відносно ®:

х'®х — х®х'~е для ВСІХ X є Є.

Із визначення маємо, що група — це моноїд, в якому всі елементи оборотні.

Часто до слів «група» і «моноїд» приписують термін «ко­мутативний». Це означає, що операція у розглянутій структурі задовольняє властивість комутативності, тобто

у® х — х ® удля всіх х, ує М або О.

Комутативна група називається абелевою групою (на честь норвезького математика Абеля).

Приклади. 1. Групою є множина дійсних чисел разом з опе­рацією додавання: (і?, +), підгрупою цієї групи є , +), де Z — множина цілих чисел. Структура (К, +), де К — множина цілих чисел, що кратні к, /г є ІУ, є підгрупою групи (7,, +). Для цих груп одиницею є 0, обернений елемент утворюється за допомогою застосування унарної операції зміни знака «-». Наведені групи є абелевими групами, оскільки додавання ко­мутативне.

26 Структура (7^і/, +), де N — множина натуральних чисел, не є групою, оскільки не існує обернених елементів і одиниці. Насправді, (ТУ, +) — півгрупа.

27 Структури (Я, *) і (./V, *) не є групами, а є моноїдами. Одиничним елементом для операції множення є 1. Обернені елементи існують на множині дійсних чисел Я для всіх еле­ментів, крім 0: не існує О'¹, такого, що 0 * О'¹ — 1. Таким чином, операція множення задає групу на множині дійсних чи­сел, крім нуля (#\{0}, *). Додатна підмножина множини дійсних чисел з операцією множення (#+, *) теж є групою— підгрупою групи (Д\{0}, *). Множення комутативне, отже, ці групи є абе- лепими.

Позначимо М„ (і?) множину всіх квадратних матриць порядку п з елементами з множини дійсних чисел. Структура (М „(II), +) — комутативний моноїд з одиницею — нульовою мат­рицею. Структура (М„(і?), *) — некомутативиий моноїд з одини­цею одиничною матрицею.

27.Структура (Z„, ©_п)— група з одиницею 0 і оберненим елементом х'=п - х;(Z_n, ®„) —■моноїд з одиницею 1.

Для розв’язку рівнянь необхідно існування та єдиність оди­ниць і обернених елементів. Доведемо ці твердження.

Твердження1. Нехай ® — операція на множині А й існує одиниця е відносно ®, тоді одиничний елемент єдиний.

Доведення. Нехай е і е' — дві одиниці відносно ®. Тоді для будь-яких а, b є А правильне а = е'® a, b = b ®е.Підставляючи а —е, b - <?', одержуємо е= е'® е -е'.

Твердження 2.Нехай ® —асоціативна операція на мно­жині Aie — одиниця відносно ®. Тоді, якщо хє А і хмає обернений елемент, то обернений елемент єдиний від­носно ®.

Доведення.Припустимо, що х'і х"— обернені елементи до х, так що

X ® X^і — х'® X — Є, X ®х"= X" ® X = Є,

х' — х' ® е — х' ® (л: ® х") = (х' ® х) ® х" = е ® х" = х".

Доведення. Розглянемо деяку групу (О, ®), й — скінченна множина. Припустимо, що деякий стовпчик а, таблиці Келі для операції ® не містить якого-небудь елемента множини Є. Тоді якийсь інший елемент а, в цьому стовпчику повинен зустріти­ся двічі, скажімо, у йому та /-ому рядках. Але тоді а_и ® а, — = а_у, а, ® а, = а; і отже,

а,. ® а, = а,® а„

а_к ® а, ® а/ = а, ® а, ® а/

(помножуємо обидві частини рівності на а/), а_и ® е — а,® е,

(а,® а/ = е за визначенням оберненого елемента),

а,, = аі (а, ® е = а_к за визначенням одиниці).

Одержуємо а*= а,_у що неможливе, оскільки тут а_к, а, — еле­менти групи, що задають різні рядки таблиці. Таким чином, ї-й стовпчик таблиці Келі є перестановкою на множині еле­ментів групи.

Запитання