Визначення

Нехай задано дві структури (А, ®)_г (С, ®) з операціями <3>, ® одного порядку п. Відображення <р: А—> С назива­ється гомоморфізмом із структури (А, ®) у структуру (С, ®), якщо воно переставлене з операціями у такому розумінні:

Ф • ® = ® • ф,

де відображення ф: А" —> С^п діє за правилом <р(а_ь а₂, а„)= (ф(а₁), ф(а₂), ф(а„)), Vа_i є А.

Рис. 3.2. Зв’язок між окремими елементами множин при гомоморфізмі ф

Часто такі діаграми зображують у більш спрощеному вигляді, вказуючи тільки необхідні множини, як показано на рис. 3.3.

Подібні діаграми часто використо­вуються для зображення зв’язків між структурами, вони називаються кому­тативними, оскільки показують мож­ливість переходу до результату різними способами (за напрямком стрілок).

Приклад. Нехай задано відображення 0: 2+ —> £₁₀, що пе­реводить будь-яке ціле невід’ємне число у решту від ділення цього числа на 10. Тоді

0(20) = 0, 0(17) = 7,...

Якщо (£+, +) і (£₁₀, Єю) структури з операцією звичайно­го додавання +., що визначена на 7+ і додаванням за модулем 10 на £ю, то 0 є гомоморфізмом з першої структури у другу. Наприклад,

0(24 + 38) - 0(62) - 2,

0(24) 0_1О 0(38) - 4 0,о 8 - 2.

Одержання даного результату двома різними способами можна проілюструвати комутативною діаграмою (рис. 3.4):

+

(24, 38)

(4,8)-

Рис. 3.4. Комутативна діаграма. Дія гомоморфізму 0

з (^і, +) в (£ю, ®ю) для елементів 24 і 38 множини 2

В загальному випадку для гомоморфізму 0: (2₊, +) —► -> (£_]0, 0ю) комутативна діаграма буде виглядати так, як це зображено на рис. 3.5.

Zl

Рис. 3.5. Комутативна діаграма дії гомоморфізму 0 з (/?,, +) в (£ю, ©іо)