Висловлення. Висловлювальна форма. Функція істинності

Під висловленням розумітимемо речення, про зміст якого можна сказати: істин­ний він чи хибний, і притому тільки одне з двох. Звичай­но, це не означення. Поняття висловлення є в логіці висловлень вихідним, неозначуваним.

Саме ця властивість — бути істинним чи хибним — є характеристичною для висловлення як предмета ви­вчення логіки.Поняття істинності і хибності в логіці висловлень не аналізуються, а беруться як дані. Яке значення — «істинність» чи «хибність» — властиве даному вислов­ленню, залежить від відповідної реальності, якої сто­сується це висловлення.

Наприклад, “7 — просте число” є висловлення істин­не, “ТАНГ — не вищий навчальний заклад” — висловлення хибне. Зауважимо, що хоч кожне висловлення або істинне, або хибне, проте це не означає, що про кожне висловлен­ня можна так сказати. Наприклад, формулювання великої теореми Ферма — висловлення, але невідомо яке, істинне чи хибне.

Розглянемо вираз “х більше від одиниці”. Цей вираз не е висловленням, бо немає смислу твердити про його істинність чи хибність доти, поки символ “x” не буде замінено назвою певного дійсного числа.

Означення 5.1.1. Вираз, який не є висловленням, але стає ним після заміни всіх символів змінних, що входять до цього виразу, назвами відповідних предметів, називають висловлювальною формою або невизначеним висловленням.

Наприклад, вирази „х + у = 2”, „А È В = С”, „ ” — висловлювальні форми. 2+4=2; - висловлення.

Розглядаючи висловлення, ми виходимо з двох основ­них припущень:

а) кожне висловлення є або істинним, або хибним, тобто третього не дано(закон виключеного третього);

б) жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним(закон виключення су­перечності).

Позначимо значення “істинне” та “хибне” відповідно через “1” та “0”. Звичайно, “1” і “0” тут не є назвами чисел, а лише символами значень введеної функції істинності. Значення “1” і “0” називають значеннями істинностічиістинісними значен­нями.

Висловлювальні змінні позначають так само, як чис­лові змінні в математиці: р, q, r, p₁, p₂, p₃,… Замість цих символів можна підставляти довільні висловлення. Зви­чайно, символи р, q, r, p₁, p₂, p₃,… не є висловленнями, вони є змінними для висловлень (їх також нази­вають змінними висловленнями або пропозиційними буквамичипропозиційними змінними).

Значення функції істинності для даного значення аргументу р позначатимемо | р|. Так, позначивши через p висловлення “2 — найменше просте число”, а через q — висловлення: “Число p дорівнює 3,14”, матимемо: |p|= 1, |q|=0.