Однією з основних задач логіки висловлень є дослідження операцій, за допомогою яких з певних вихідних висловлень утворюють нові висловлення. Такі операції і називають логічними.
Означення кожної логічної операції задаватимемо відповідною матрицею (таблицею), в перших стовпчиках якої записуються всі можливі істинісні значення компонентів, а в останньому стовпчику — істинісне значення результату операції.
Означення 5.1.2. Бінарну логічну операцію, яка відповідає зв’язці “і” звичайної мови, позначається символом “Ù” і задається наступною матрицею, називають кон'юнкцією, або логічним множенням.
p
q
pÙq
Запис „pÙq” читають: “p і q”.
Вищенаведене табличне означення операції “кон'юнкція” рівнозначне такому словесному означенню: “Кон'юнкція pÙq істинна тоді і тільки тоді, коли обидва компоненти р і q є одночасно істинними”.
Означення 5.1.3. Бінарну логічну операцію, відповідну зв’язці “або нероздільне”, що позначається символом “Ú” і задається наступною таблицею, називають диз’юнкцією або логічним додаванням. Вираз “pÚq”читають “p або q”.
p
q
pÚq
Словесне означення диз'юнкції: “Диз’юнкція “pÚq” істинна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з її компонентів р або q є істинним, у протилежному випадку диз’юнкція є хибною”.
Означення 5.1.4. Унарну операція, відповідну виразу “неправильно, що”, яку позначають символом “—“ і задають наступною таблицею, називають логічнимзапереченням. Вираз „” читають “не р”.
p
Словесне означення заперечення: “Заперечення `істинне тоді і тільки тоді, коли р — хибне, у протилежному випадку`— хибне”.
Означення 5.1.5. Операцію, яка відповідає сполучнику “якщо..., то...”, позначається символом “®”, називають імплікацією. ЇЇ задають таблицею:
p
q
p®q
В імплікації р називають антецедентом або посиланням (умовою), q— консеквентомабовисновком.
Словесне означення операції “імплікація” таке: “Імплікація „p®q” хибна тоді і тільки тоді, коли її антецедент — істинний, а консеквент — хибний, в усіх інших випадках імплікація — істинна”.
Означення 5.1.6. Бінарну логічну операцію, яка відповідає зв’язці “тоді і тільки тоді”, позначається символом “«”, називають еквіваленцією. Її табличне означення:
p
q
p«q
Словесне означення еквіваленції можна сформулювати так: “Еквіваленція “p«q” істинна тоді і тільки тоді, коли p і q набувають однакових значень істинності, в протилежному випадку еквіваленція — хибна”.
Із сказаного вище випливає, що символ диз’юнкції “Ú” відповідає невиключному, нероздільному “або”.
Означення 5.1.7. Бінарну логічну операцію, яка відповідає виключному, роздільному “або”, позначається символом “Å”, називають строгою диз’юнкцією і задають таблицею:
p
q
pÅq
Словами строгу диз’юнкцію означують так: “Строга диз’юнкція “Å” хибна тоді і тільки тоді, коли p і q набувають однакових значень істинності, в протилежному випадкустрога диз’юнкція — істинна”.
Висловлення, які не містять логічних зв'язок, називаютьелементарнимичиатомарними. Наприклад, висловлення “Рейк’явік — столиця Ісландії” і “3 — просте число” — елементарні висловлювання. Висловлення, яке містить хоча б одну логічну зв’язку,називаютьскладним. Наприклад, висловлення “10 не є простим числом”.
Пропозиційні літери, символи логічних операцій та дужки – це вихідні символи алгебри висловлень.
Довільну послідовність вихідних символів називають виразом мови.
З множини виразів виділяють підмножину формул.
Формулами алгебри висловлень називають пропозиційні літери і вирази виду
` F, F ÙG, FÚG, F®G, F«G,
де F,G – формули.
При цьому пропозиційні літери є елементарними (атомарними) формулами. Наприклад, (((p®())Úr)Å s) – формула.
Дужки у формулі означають порядок виконання операції.
Символу кожної логічної операції відповідає пара дужок. Щоб запобігти громіздкості формул, використовують такі правила скорочення:
1) зовнішні дужки у записі кінцевої формули можна опустити;
2) всім логічним операціям приписують відповідний ранг, який знижується зліва на право: ` , Ù, Ú, ®, «.
Лівіша операція є сильнішою за правішу.
Знаючи ранг операції можна не використовувати дужки.
” читають “не р”.
))Úr)Å s) – формула.