Властивості полів

Через те, що поле є кільцем, всі властивості кілець автоматично переносяться на поля, до них лише слід додати властивості операції ділення. Розглянемо ряд властивостей поля, що випливають безпосередньо з його означення.

1. Жодне поле не має дільників нульового елемента.

2. Для відношень елементів поля Р (а¹q ) справедливі арифметичні властивості звичайних дробів, а саме:

1) якщо , то і тільки тоді, коли ;

2) для довільних елементів поля ( ) виконується рівність ;

3) для довільних елементів поля ( ) виконується рівність ;

4) для довільних елементів поля ( ) виконується рівність ;

5) для довільних елементів поля ( ) виконується рівність .

3. У полі Р справедливі звичайні арифметичні правила дій з цілими степенями:

.

При цьому за означенням при .

РОЗДІЛ 4. КОМБІНАТОРНИЙ АНАЛІЗ

Тема 4.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КОМБІНАТОРНОГО АНАЛІЗУ

Для вирішення багатьох задач різних галузей людської діяльності доводиться знаходити кількість способів можливих розміщень деяких предметів скінченої множини або число всіх можливих способів виконання певної дії із скінченої множини таких дій. Такі задачі ми вже розв’язували (знаходження булана скінченої множини, побудова все можливих відношень на заданій множині, знаходження шляхів у графах, транспортна задача тощо). Такі задачі вивчає комбінаторика, а методи їх розв’язування називають методами комбінаторного аналізу. Оскільки комбінаторика має справу із скінченними множинами, на природу об’єктів яких ніяких обмежень не накладають, то її часто називають теорією скінченних множин.

Комбінаторика виникла у XVI столітті, коли у житті верхніх прошарків суспільства важливе місце займали азартні ігри (карти, кості, пасьянси, лотереї). Це стало рушійною силою у розвитку комбінаторики та теорії ймовірностей. Ряд перших комбінаторних задач розв’язали такі відомі математики як Паскаль, Ферма, Ейлер, Бернуллі, Лейбніц.

В економіці комбінаторні методи дискретної математики використовують при розв’язанні транспортної задачі, складанні все можливих розкладів, планів виробництва і реалізації продукції, призначення на посади тощо.

Встановлено зв’язки між комбінаторикою та теорією алгоритмічних структур, лінійним програмуванням, статистикою, кодуванням і декодуванням шифрів, вирішенням інших проблем теорії інформації.