Означення поля. Приклади полів

У кожному кільці для операції додавання здійсненна обернена операція – віднімання. Про обернену до операції множення – ділення – в означенні кільця не йдеться.

Слід зауважити, що ділення на нуль неможливе у жодній з числових множин. Ця властивість має місце і в абстрактних кільцях – не можна ділити на нульовий елемент q.

Важливу роль в математиці відіграють комутативні кільця, в яких здійсненна операція ділення (крім ділення на нуль). Їх називають полями.

Означення 3.3.1. Комутативне кільце Р називають полем, якщо воно має принаймні один елемент, відмінний від нульового і якщо в ньому в усіх випадках здійсненна операція ділення, крім ділення на нуль, тобтоякщо для довільних елементів кільця а і b, а¹q у кільці міститься, і при тому єдиний, такий елемент q, для якого a×q=b.

Елемент q називають часткою елементів а і b і записують .

Аналогічно означують і числові поля. Існують ще й інші означення поля.

Означення 3.3.2. Комутативне кільце Р з одиницею, яке воно має принаймні один елемент, відмінний від нульового, називають полем, якщо для його кожного елемента а, а¹q існує єдиний обернений елемент а^-1, такий що a× а^-1=е.

Означення 3.3.3. Комутативне кільце Р, в якому існує хоча б один елемент, відмінний від нульового, називають полем, якщо сукупність його елементів без q утворює групу відносно операції множення.

Приклади полів.

1. Множини всіх раціональних, дійсних і комплексних чисел Q, R, C є полями.

2. Множина чисел виду , де а і b – раціональні числа, є полем.

Доведення

Доведемо, що результати операцій додавання, віднімання, множення і ділення належать також до чисел виду . Для цього візьмемо два різних числа заданого виду і .

1) Операції додавання і віднімання: .

Тут роль a відіграє вираз , який сумою (різницею) двох раціональних чисел і , а тому і раціональним числом, а роль b – вираз , що є також раціональним числом з аналогічних міркувань.

2) Операція множення:

.

Тут у ролі a виступає вираз , а роль b – вираз , що є раціональними числами, отриманими в результаті додавання множення раціональних чисел .

3) Операція ділення (для виділення чисел а і b позбудемося ірраціональності в знаменнику):

.

Очевидно, що вирази та , щовиступають в ролі а і b, є раціональними, але викликає сумнів те, чи вони завжди мають зміст, тобто чи не дорівнює знаменник нулеві. Доведемо це від супротивного.

Припустимо, що .

Звідси , або , або , або . Останній вираз є суперечністю, оскільки частка двох раціональних чисел не може бути числом ірраціональним. Твердження доведено.