Гомоморфізми кілець

Означення 3.2.3. Відображення j: К®К’ кільця К в кільце К’ називають гомоморфним відображенням або гомоморфізмом, якщо виконуються для довільних елементів такі умови:

1) ;

2) .

Кільце К’ називають гомоморфним образом кільця К і записують К~К’.

Приклади гомоморфізмів кілець.

1. Нехай С₁ – кільце всіх комплексних чисел, а С₂ – кільце матриць другого порядку.

Розглягнемо відображення y, яке для довільного комплексного числа визначають так:

.

Доведемо, що відображення y є гомоморфізмом, перевіривши виконання умов 1) і 2). Для цього візьмемо два різних комплексних числа і запишемо гомоморфізм їх суми:

Властивість 1) доведена.

Доведемо факт, що гомоморфізм добутку комплексних чисел дорівнює добутку гомоморфізмів цих чисел.

Властивість 2) доведена.

2. Нехай С₁ – кільце матриць другого порядку виду , а С₂ –. кільце всіх чисел виду . Відображення y, яке так:

,

є гомоморфізмом. Довести самостійно.

Тема 3.3. ПОЛЯ