4.1. Выяснить, являются ли следующие отношения отношениями порядка и какого типа:
1) ρ={(m, n) | $ kÎN: n=mk} на множестве А=N;
2) ρ={(M, N) | MÌN и NÌE} на множестве всех подмножеств некоторого множества Е;
3) ρ={(х, у) | х-у>2 Ú х=у} на множестве А=N;
4) xρy, если в слове у есть буква, не входящая в слово х на множестве слов русского языка;
5) хρу, если число х предшествует числу у в последовательности 2, 1, 4, 3, 6, 5, … на множестве А=Z+;
6) ρ={(х, у) | у находится в подчинении у х} на множестве должностей некоторой организации.
4.2. Построить минимальное отношение порядка на множестве А={a, b, c}, которое содержало бы ρ1: ρ1={(a, a), (b, c), (a, b)}.
4.3. Дано множество А={a, b, c, d}. На нем задано отношение ρ: ρ={(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d)}.Проверить, является ли оно отношением порядка. Достроить его до линейного порядка. Построить диаграммы Хассе.
4.4. Доказать, что множество всех подмножеств данного множества частично упорядоченно отношением включения Í.
4.5. Пусть А – множество всех кривых на плоскости, каждая из которых имеет вид: у=e-х+с, сÎR+. Является ли отношение ρ={(y, z) | y=e-x+c1 , z=e-x+c2 , c1<c2 } отношением порядка на множестве А?
4.6. Пусть £ и < на множестве N0={0, 1, 2, ¼} определены обычным образом. Доказать, что <◦<¹<, £◦<=<, £◦³=N02, где No=NÈ{0}.
4.7. Доказать, что отношение ρ на множестве А есть предпорядок тогда и только тогда, когда ρ=(ρ◦ρ)ÈJA.
