Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется рефлексивным, если .

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется антирефлексивным, если .

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется симметричным, если выполняется условие:

: если , то .

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется антисимметричным, если выполняется условие:

: если и , то .

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется транзитивным, если выполняется условие:

: если и , то .

Определение:Бинарное отношение , заданное на множестве A, называется антитранзитивным, если выполняется условие:

: если и , то .

Определение:Отношение , заданное на множестве A, называется отношениемэквивалентности на множестве A, если рефлексивно, симметрично и транзитивно на данном множестве A.

Определение: Классомэквивалентности, порожденным элементом , называется подмножество множества A, которое обозначается :

.

Определение: Разбиениеммножества A называется совокупность попарно непересекающихся подмножеств множества A таких, что каждый элемент множества A принадлежит одному и только одному из этих подмножеств, и объединение всех этих подмножеств есть множество A.

Теорема:Всякое разбиение множества A определяет на множестве А отношение эквивалентности . Всякое отношение эквивалентности, заданное на множестве А, определяет разбиение множества А на классы эквивалентности относительно этого отношения.

Совокупность классов эквивалентности элементов множества А по отношению к эквивалентности называется фактор-множеством множества А по отношению к и обозначается , т.е.

.