Доказательство.

а)

Пусть

б)

Пусть

по определению объединения множеств;

в)

по определению пересечения множеств;

Пусть

г)

Пусть

Задача 3. Верны ли следующие утверждения? Проиллюстрировать обоснование истинности (ложности) этих рассуждений диаграммами Эйлера-Венна.

Пояснение. Если можно построит диаграмму Эйлера-Венна, на которой изображены множества, удовлетворяющие заданным условиям, но заключение оказывается неверным, то рассуждение не является верным.

а) Если такие подмножества универсума , что и то

Решение. Диаграмма Эйлера-Венна приведена на рис. 1.6. Рассуждение верно.

б) Если такие подмножества универсума , что и то

Рис. 1.6. Диаграмма Эйлера-Венна

Решение. Диаграмма Эйлера-Венна приведена на рис. 1.7.

Рассуждение ложно.

Рис. 1.7. Диаграмма Эйлера-Венна

Задача 4. Пусть , , , . Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а)

.

б) .

в) .

г) .

Задача 5. Докажите следующие тождества:

1) ;

2) .

Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:

, .

Доказательство первого включения проведем по схеме:

,

а доказательство второго включения по схеме

.

Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы, а одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности .

Для равенства 2) проведем доказательство от противного. Предположим противное, что множество не пусто, т. е. существует хотя бы один элемент

.

Никакой элемент x не может одновременно принадлежать и самому множеству и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.

Задача 6. Пусть A, B, K – такие множества, что . Найдите множество X, удовлетворяющее системе уравнений

.

Решение. Из первого уравнения следует, что , поэтому X можно представить в виде , где . Из равенств

, ,

следует, что . Итак, нам осталось найти множество . Заменим X во втором уравнении на . Получим . По ассоциативному закону . Из включения следует, что , поэтому получаем равносильное уравнение . Два факта и позволяют заключить, что решением последнего уравнения является множество . Окончательно

.

Задача 7.Представить множество диаграммой Венна.

Решение. Начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 1.8, а.

Заштрихуем B диагональными линиями в одном направлении, а – в другом (рис. 1.8, б).

а) б)

в)

Рис. 1.8. Диаграммы Эйлера-Венна

Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т. е. множество линиями одного направления, а A – другого. Вся заштрихованная на рис. 1.8, в область представляет объединение множеств A и , т. е. множество . Обведем искомую область также жирной линией.

Задача 8.Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Венна справедливость соотношения

(свойство дистрибутивности слева операции пересечения относительно объединения ).

Решение. Пусть . , , . Тогда левая часть равенства

;

правая часть равенства

.

Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают,

т.е. равенство подтверждено. Построим теперь диаграммы Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 1.9, а, правая – на рис. 1.9, б. Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения.

а)

б)

Рис. 1.9. Диаграммы Эйлера-Венна

Задача 9. Доказать справедливость соотношения

(свойство дистрибутивности справа пересечения относительно объединения ).

Доказательство. Множества , если и . Поэтому покажем сначала, что , т. е. любой произвольный элемент из множества, заданного левой частью соотношения, принадлежит и множеству, заданному правой частью соотношения.

Пусть . Тогда

и

или ) и

и или и

или

.

Таким образом, .

Покажем теперь, что , т. е. любой элемент из множества, заданного правой частью исходного соотношения, принадлежит и множеству, заданному левой частью исходного соотношения.

Пусть . Тогда

или

или ) и

и

.

Следовательно, .

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Задача 10. Доказать справедливость соотношения

(свойство дистрибутивности слева объединения относительно пересечения ).

Доказательство. Такое доказательство может быть выполнено с помощью диаграмм Венна (см. пример задачу 8). Здесь для этих целей используем один из приемов доказательства равенства двух множеств.

Задача 11.Доказать, что относительно данного универсального множества дополнение любого множества , если , единственно.

Доказательство. Для доказательства единственности дополнения множества предположим, что существуют два множества и в , каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества , т. е. их пересечение с пусто, а объединение с дает :

а) ; б) ;

в) ; г) .

Очевидно, что . С учетом условия г) . Тогда по доказанному выше (см. задачу 8) , но с учетом условия a) , т. е. . Поэтому

и и .

Очевидно, что , отсюда следует, что .

В то же время (с учетом условий в), б), а также в соответствии с доказанной выше задачей 8):

.

Поэтому

и и .

Отсюда следует, что .

Таким образом, и , откуда . Следовательно, и – единственно, что и требовалось доказать.

Задача 12. Пусть даны множества , , такие, что и , , – попарно не пересекаются. Доказать, что

, , .

Доказательство. Докажем, что .

По условию, , , – попарно не пересекаются, т. е.

a) ; б) ; в) ,

кроме того,

г) , т. е. .

Согласно доказанному в задаче 8,

,

где в соответствии с условиями a), б):

.

Таким образом, .

Итак, пересечение и пусто, а их объединение по условию г) составляет универсальное множество :

; .

Следовательно, удовлетворяет условиям для , которое единственно (в соответствии с доказанным в задаче 8). Поэтому , что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и .

Задача 13. Доказать, что для произвольных множеств и имеет место соотношение .

Доказательство. Отметим вначале, что если , то , и проведем доказательство от противного, т. е. допустим, что и . Тогда