Основные операции над множествами

Определение. Объединением (суммой) двух множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Еще будем писать так:

В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.

Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством Будем писать так:

Из определения операции объединения следует, что если то этот элемент не может входить ни в одно из двух множеств и то есть

Пример 1.5.1. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Определение. Пересечением (произведением) (или или ) двух множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам:

По-другому будем писать так:

В устной или письменной речи операцию пересечения описывают союзом и.

Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.

Пример 1.5.2. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Определение. Два множества называются непересекающимися, если

Определение. Пусть семейство множеств каждое из которых включено во множество Семейство называется покрытием множества если всякий элемент множества входит хотя бы в одно множество семейства Таким образом,

Пример 1.5.3. Пусть Тогда семейства

это покрытия множества

Определение. Покрытие называется разбиением множества если всякий элемент множества принадлежит ровно одному множеству семейства Таким образом, и если

Пример 1.5.4. Пусть Тогда семейства

образуют разбиения множества

Определение. Разностью множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству :

Иная запись:

Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или

Итак,

Пример 1.5.5. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Итак, если то так как во множестве нет ни одного элемента, который не входил бы в множество

Обратно, если так как каждый элемент множества принадлежит и

Определение. Симметрической разностью (или ) множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств.

Или так:

Но тогда

Пример 1.5.6. Пусть

Тогда

Пусть Тогда

Таким образом,

Определение. Дополнением ( ) множества до универсума называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат

Иная запись:

В устной речи операция дополнения соответствует частица не.

Пример 1.5.7. Пусть Тогда Таким образом

Утверждение.

Доказательство. Докажем, что множество состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что и (множества и состоят из одних и тех же элементов).

а. Пусть

б. Пусть