О парадоксах теории множеств

Теория множеств является универсальным фундаментом для всего здания математики. Область исследования каждой математической дисциплины можно представить в виде набора множеств заданной структуры. Однако неограниченное, свободное использование понятий канторовской теории множеств порождает парадоксы.

Парадоксы и противоречия в теории множеств возникают при переход от конечных множеств, содержащих конечное число элементов, к бесконечным. Понятие бесконечности до сих пор во многом таинственно. Рассмотрим два таких парадокса.

Парадокс Рассела (Бертран Артур Уильям Рассел (1872-1970) – английский математик).

Обозначим через множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Это множество, во всяком случае, не конечно.

Допустим, что Но тогда, по определению должно быть

Допустим, что Но тогда, по определению , должно быть

Получено противоречие (парадокс).

Парадокс Кантора (Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик). Пусть это множество всех множеств (снова бесконечное множество) и его булеан. Тогда Доказано, что если и бесконечные множества и если то и что (теорема Кантора). Таким образом, с одной стороны С другой стороны, Снова получено противоречие.

Однозначного ответа на вопрос, как избежать парадоксов, не существует и сегодня. Ясно, что парадокс возникает, если никак не ограничивать свободу конструирования множеств (свободу выбора характеристического предиката).

Множество из парадокса Рассела описывается характеристическим предикатом

Множество из парадокса Кантора описывается характеристическим предикатом

Следовательно, можно попытаться избежать противоречий, если ограничить себя рассмотрением множеств, которые разрешены определенным списком аксиом. Эти аксиомы сформулированы так, что известные парадоксы из них не выводятся. Таких списков аксиом предложено несколько. В системе аксиом, предложенной Э. Цермело (Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871-1953) – немецкий математик) и затем расширенной А. Френкелем (1891-1965) – израильский математик, которая носит название системы аксиом Цермело – Френкеля (ZF), принцип абстракции заменяется аксиомой выделения:

«Для любого множества и предиката имеющего смысл для всех элементов множества (т.е. такого, что для любого утверждение либо истинно, либо ложно), существует множество состоящее из тех же элементов для которых истинно».

Эта аксиома разрешает создавать множество только из элементов уже имеющегося множества что исключает построение как множества из парадокса Рассела, так и множества из парадокса Кантора.