Сравнение множеств

Определение. Говорят, что множество содержится во множестве ( подмножество , включено в , содержит или включает ), если всякий элемент множества принадлежит и множеству . В этом случае пишут: . Таким образом, .

Можно сказать иначе: если , то

Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае он обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то

Определение. Говорят, что множество есть собственное подмножество множества ( строго включает ) и пишут если и .

Таким образом, и

Определение. Если , то множества и называются сравнимыми между собой.

Ясно, что

· для всякого множества ;

· Если и , то ; и , то

Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество не является подмножеством множества .

Именно, . Во множестве должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству .

Утверждение. для всякого множества

Доказательство. Пусть Тогда Но данное условие противоречиво: пустое множество не содержит элементов.

Пример 1.3.1. Пусть и

Тогда

Определение. Булеаном множества (обозначается ) называется семейство всех подмножеств множества .

Значит, В частности,

Примеры булеанов.

Пусть

Тогда

Пусть Тогда

Пусть Тогда

Определение. Мощностью конечного множества (обозначение: ) называют число его элементов.

Пример 1.3.2.

Утверждение. Если то

Доказательство. (1 способ). Припишем элементам множества номера от 1 до Тогда можно записать, что Закодируем всякое подмножество множества последовательностью длины , состоящей из нулей и единиц, так что

Следовательно, пустое множество представляется нулями, а множество кодируется последовательностью, содержащей только единицы.

Таким образом, для каждого однозначно строится последовательность; по каждой последовательности однозначно восстанавливается соответствующее подмножество. Поэтому число подмножеств множества равно числу последовательной длины содержащих только нули и единицы.

По принципу умножения число таких последовательностей равно

Доказательство. (2 способ). Число подмножеств множества содержащих элементов, равно числу способов отобрать из элементов множества элементов, образующих данное подмножество, т.е. равно Отсюда

Понятие мощности введено и для бесконечных множеств. Оказывается, бесконечности могут быть разными. Например, мощность множества натуральных чисел – это не то же, что мощность множества вещественных чисел (счетная бесконечность и континуум соответственно). Мы ограничимся рассмотрением в основном конечных множеств.