Доказательство.

Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Определение. Под высказыванием будем понимать любое повествовательное предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное.

Под одноместным характеристическим предикатом от будем понимать некоторое утверждение относительно объекта , которое превращается в высказывание истинное, ложное или бессмысленное, если букву заменить именем объекта.

Судить об истинности, ложности или бессмысленности полученного высказывания можно не всегда. Но сейчас мы приведем примеры одноместных предикатов, для которых такие суждения представляются возможными.

1. Рассмотрим утверждение « ». Этот предикат превращается в истинное высказывание, если переменную заменить числом 6, ложное высказывание, если переменную заменить числом 3 и в бессмысленное высказывание, если написать «студент Иванов ».

2. Предикат «слово содержит букву а» превращается в истинное высказывание в случае «слово «математика» содержит букву а» и ложное в случае «слово «студент» содержит букву а».

Всякий одноместный предикат можно считать функцией одного переменного . Значения функции принимают – истинные, ложные или бессмысленные высказывания. Область определения – некоторое множество имен объектов.

Понятие одноместного предиката легко обобщить на двух-, трех-,…, – местные предикаты. Например, « » – это двуместный предикат, « » – трехместный предикат и т.д.

Предикаты будем обозначать большими латинскими буквами, после которых в скобках перечислены их аргументы:

и т.д.

Определение. (Интуитивный принцип абстракции). Говорят, что всякий предикат задает некоторое множество (быть может, пустое), посредством условия, согласно которому в входят те и только те элементы , которые обращают в истинное высказывание.

Так как всякое множество однозначно определяется своими элементами, любой предикат определяет в точности одно множество , обозначение: .

Читается: множество таких элементов , что истинное высказывание. Возможны некоторые модификации записи , смысл которых легко понять из контекста.

Пример 1.2.5. это множество точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

Пример 1.2.6. и не имеет отличных от 1 делителей меньших или равных это множество простых чисел.

Пример 1.2.7. пустое множество.

Замечание. В формулировках принципов объемности абстракции используются два интуитивных понятия – множества и принадлежности элемента множеству. Неограниченное употребление этих понятий при построении характеристических предикатов приводит к парадоксам.