Решение задач интерполяции и регрессии

Для представления физических закономерностей и при проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида у(х), причем число точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция).Эта задача решается аппроксимацией исходной зависимости, т.е. ее заменой какой-нибудь достаточно простой функцией. Система MathCAD предоставляет возможность

аппроксимации двумя типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции вычисление дополнительных точек выполняется по линейной зависимости (узловые точки соединяются отрезками прямых), для чего используется функция linterp(vx, vy, x), где vx и vy - вектора узловых точек аргумента х (рис. 21).

Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках. Для осуществления сплайновой интерполяции MathCAD предлагает четыре встроенные функции:

cspline(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

lspline(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных. при приближении в опорных точках к прямой.

Только после применения одной их перечисленных функций производится вычисление значения у(х) с помощью функции interp(VS, VX, VY, x). Применение описанных функций показано на рис.21.

Рис.21. Проведение линейной и сплайн-интерполяции

Другой широко известной задачей обработки данных, ..заданных таблично, является регрессия. Задача регрессии -заключается в получении параметров функции у(х) такими, что функция приближает «облако» исходных точек (заданных векторами VX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Для проведения линейной регрессии (функция у(х) = а +bх) в систему MathCAD встроен рад функций:

corr(VX ,VY) - возвращает коэффициент корреляции Пирсона;

intercrpt(VX ,W) - возвращает значение параметра а;

slope(VX,VY) - возвращает значение параметра b.

На рис.22 показан пример проведения линейной регрессии.

Рис.22. Линейная регрессия

В MathCAD реализована также возможность выполнения линейной регрессии общего вида. Заданная совокупность точек приближенно описывается функцией вида: F(х,К₁,К₂,...К_n) = K₁F₁ (х) + K₂F₂ (х) +...+ K_nF_n(x). Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(VX,VY,F) - возвращает вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F₁ (x),F₂ (x) ,...F_n(x), записанные в символьном виде. Рис.23 иллюстрирует проведение линейной регрессии общего вида с помощью функции linfit.

Рис.23. Пример проведения линейной регрессии общего вида