Алгебраические уравнения

10.2.1. Уравнение с одним неизвестным

Для решения алгебраического уравнения вида f(x)=0 с одним неизвестным х MathCAD имеет встроенную функцию root, которая в зависимости от типа задачи может включать либо два, либо четыре аргумента и соответственно работает по-разному.

- root (f(x), x);

- root (f(x), x, a, b);

где f(x) – скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;

x – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

a, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительно задания начального значения переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число, и MathCAD использует его как начальное приближение при поиске корня.

Для определения приближенного значения корней уравнения наиболее распространен графический способ. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x)=0 – это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

На рис.49 приведен пример решения простого уравнения sin(x)-0,2=0, показаны график функции f(x) и положение найденного корня. Хотя уравнение имеет бесконечное количество корней, MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, х₀=0,202, лежащий наиболее близко к х=0,5. Если задать другое начальное значение, например х=3, то решением будет другой корень уравнения х₁=2,941. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация.

При использовании второго типа функции root задается не начальное приближение к корню, а интервал [a, b], внутри которого корень заведомо находится. Поиск корня осуществлен в промежутке между а и b.

Обратите внимание, что явный вид функции f(x) может быть определен непосредственно в теле функции root. Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [a, b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;

- значения f(a) и f(b) должны имеет разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Пример использования функции root с четырьмя аргументами приведен на рис.49.

Рис.49. Решение уравнения с одним неизвестным

10.2.2. Системы уравнений

Рассмотрим решение системы N уравнений с М неизвестными.

Здесь - некоторые скалярные функции от скалярных переменных х₁, х₂,…,х_М.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

- Given – ключевое слово;

- система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;

- Find (х₁,…,х_М) – встроенная функция для точного решения системы относительно переменных х₁,…,х_М.

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Булево. В случае ввода с клавиатуры, логический знак равенства вводится в сочетании клавиш <Ctrl>+<=>. Блок Given…Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому требуется задать начальные значения для всех х₁,…,х_М. Сделать это необходимо до ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно числу аргументов Find.

Отметим, что уравнения можно определить непосредственно внутри вычислительного блока. Примеры решения системы уравнений приведены на рис.50.

Рис.50. Решение системы уравнений

10.2.3. Приближенное решение уравнений

Рис.51. Приближенное решение уравнений

Когда невозможно найти решение с помощью функции Find, можно попытаться вместо точного выполнения уравнений получить приближенное решение системы уравнений. Для этого следует в вычислительном блоке вместо функции Find использовать функцию Minerr. Она также должна находиться в пределах вычислительного блока. Пример использования функции Minerr показан на рис.51.

10.2.4. Поиск экстремума функции

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума или минимума в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и(или) уравнений.

Рис.52. График функции

Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Рассмотрим пример функции f(x), показанный графиком на рис.52 на интервале (-5, 2). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

В MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший).

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции,

которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

- Minimize (f, x₁,…, x_M) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

- Maximize (f, x₁,…, x_M) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума.

Здесь f(x₁,…, x_M, …) – функция;

x₁,…, x_M – аргументы, по которым производится минимизация.(максимизация).

Примеры вычисления экстремума функции показаны на рис.53.

Рис.53. Поиск экстремума функции

10.3.5. Символьное решение уравнений

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Выполняется это аналогично численному решению уравнений с применением вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости. Примеры символьного решения уравнений приведены на рис.54.

Рис.54. Символьное решение уравнений