Вертикальные и наклонные асимптоты

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке (a, b). Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения:

m если f(x₀) = 0, то график функции в точке x₀ пересекает ось абсцисс;

m если 0 Î (a, b), то график функции пересекает ось ординат в точке y₀ = f(0);

m если в точке x₀ Î (a, b) функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту x = x₀;

m если (a, b) = (–¥, ¥), (a, b) = (a, ¥) или (a, b) = (–¥, b), существуют и конечные пределы и , то прямая y = kx + b – асимптота графика функции при x → +¥; аналогично находят асимптоту при x → +¥;

m если , то график функции имеет на левой границе области определения вертикальную асимптоту x = a. Аналогично, если , то график функции имеет на правой границе области определения вертикальную асимптоту x = b;

m если (a, b) = (–¥, ¥) и существует такое число Т ¹ 0, что f(x + T) = f(x) для любого x = (–¥, ¥), то исследуемая функция периодична с периодом Т; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке (0, Т) и доопределить его по периодичности на всю числовую ось;

m если f(–x) = f(x) для любого x Î (–a, a), то исследуемая функция четная. В этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке (0, a) и отобразить его симметрично относительно оси ординат на промежуток (-a, 0);

m если f(–x) = –f(x) для любого x Î (–a, a), то исследуемая функция нечетная; в этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке (0, a) и отобразить его на промежуток (-a, 0) симметрично относительно начала координат.

ЗАДАНИЕ 1. Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: найдите координаты точек пересечения с координатными осями; найдите и постройте наклонные асимптоты. Запишите уравнения вертикальных асимптот.