Сплайн-интерполяция

При выполнении интерполяции степенными полиномами возможно появление явления волнистости, при котором значение интерполирующей функции между узлами сколь угодно сильно отличается (осциллирует) от значений интерполируемой функции в близлежащих узлах. Это является свойством степенного полинома. Так как явление волнистости не проявляется для полиномов степени три и менее, то для его преодоления используют линейную, квадратичную или кубическую сплайн-интерполяцию.

Функция S(x), заданная на отрезке [a, b], называется сплайном порядка p, если она:

1. На каждом из частичных отрезков , i = 0, 1, …, n-1 заданной степени , то есть может быть записана как .

2. р-1 раз непрерывно дифференцируема на [a, b].При сплайн-интерполяции интерполируемая функция представляется набором полиномов первой, второй или третьей степени соответственно – своим для каждого из внутренних подотрезков . На рис. 2 для случая функции одной независимой переменной f(x) показана программа для Mathcad, реализующая кубическую сплайн-интерполяцию.

Для реализации одномерной сплайн-интерполяции в пакете Mathcad имеются следующие функции:

· cspline(vx,vy) –возвращает вектор вторых производных (первый из аргументов в функции interp(vs,vx,vy,x)) по векторам исходных данных vx и vyдля кубичного сплайна.

· pspline(vx,vy) -возвращает вектор вторых производных по векторам исходных данных vx и vyдля параболического сплайна.

· lspline(vx,vy) -возвращает вектор вторых производных по векторам исходных данных vx и vyдля линейного сплайна.

· interp(vs,vx,vy,x) – возвращает значение, найденное сплайн-интерполяцией для заданных векторов vs, vx, vy и значения x.