Обратная матрица.

Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квад­ратная матрица В, удовлетворяющая равенствам

АВ = ВА = Е (9)

где Е - единичная матрица. Из определения следует, что обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы и обе матрицы имеют один и тот же порядок. Матрицу, обратную матрице А, будем обозначать через А^-1.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

(10)

Матрицей, присоединенной к матрице A, называется матрица

(11)

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А. Отметим, что алгебраические дополнения элементов i- и строки матрицы А рас­положены в i-м столбце матрицы С.

Теорема 2.3

Если А - квадратная матрица порядка п, а С - присоединенная к ней матрица, то

(12)

где Е - единичная матрица п-го порядка.

Квадратная матрица называется невырожденной, или неособен­ной, если определитель ее отличен от нуля. Если определитель матри­цы равен нулю, матрица называется вырожденной, или особенной.

Теорема 2.3

Для невырожденной матрицы А существует единственная об­ратная матрица А^-1, определяемая формулой

(13)

где С - матрица, присоединенная к матрице А.

Замечание.

Вырожденная матрица не имеет обратной.

Пример.

Найти матрицу А^-1, обратную матрице

Вычислим определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов:

В соответствии с формулой (13) получаем

Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу размеров т п

Выберем в ней произвольно s различных строк и s различных столб­цов, причем , где - меньшее из чисел т и п. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, об­разуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Например, если дана матрица

то, взяв первую и вторую строку, третий и четвертый столбец, полу­чим матрицу второго порядка и ее определитель

Рангомматрицы называется наибольший из порядков ее мино­ров, отличных от нуля. Ранг матрицы будем обозначать буквой r. Если все миноры матрицы равны нулю, ранг ее считается равным нулю.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойства­ми миноров. Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка k+1равны нулю или не существуют, то r=k.