Связь алгебраических дополнений с минорами.

Пусть Δ = = .

Определение 1. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент , и сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением к элементу в определителе Δ, i = , j = .

Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=a_i1 A_i1+ a_i2 A_i2+ _… + a_in A_in (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.

Аналогично: Δ =a_1j A_1j + a_2jA_2j+ _… + a_nj A_nj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j = .

Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.

Определение 2. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент a_ij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается M_ij и называется минором к элементу a_ij в определителе Δ, i = , j = .

Например:

Пусть Δ = . Тогда M₂₃ = и т.д.

Теорема 4. ( о связи алгебраических дополнений с минорами) Пусть Δ - определитель n-го порядка над полем P, A_ij и M_ij – алгебраическое дополнение и минор к элементу a_ij в Δ соответственно. Тогда

A_ij=(-1)^{i+ j}M_ij , i = , j = .

Доказательство. Пусть Δ₁ - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент a_ij, т.е. Δ₁= = (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I₁, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места = a_ij(-1)^i+jM_ij, т.е. Δ₁ = a_ij(-1)^i+jM_ij (4). С другой стороны Δ₁ a_ijA_ij (5). Из (4) и (5) следует, что a_ij(-1)^i+jM_ij = a_ijA_ij. Тогда A_ij = (-1)^i+jM_ij. Теорема доказана.