Определители второго и третьего порядков.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е., по определению 4 п.5,
Δ = = .

M = , = 2! = 2. Таким образом, Δ имеет 2 слагаемых.

Выпишем все возможные 2 перестановки на множестве M = , подсчитаем количество инверсий в них и составим слагаемые вида (1) (см.п.5)

I₁ = (12) = 0 ,

I₂ = (21) = 1 , то

Δ = = .

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка:
Δ = = .

M = , |S₃|= 3! = 6. Таким образом, Δ имеет 6 слагаемых.

Выпишем все возможные 6 перестановок на множестве M =

I₁ = (123) = 0 ;

I₂ = (213) = 1 ;

I₃ = (312) = 2 ;

I₄ = (321) = 3 ;

I₅ = (132) = 1 ;

I₆ = (231) = 2 .

Следовательно,

Δ= = .

Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +:

произведение элементов на главной диагонали,

произведение элементов на диагонали, параллельной главной, умноженное на элемент, стоящий в противоположном углу,

произведение элементов второй диагонали, параллельной главной, умноженное на элемент, стоящий в противоположном углу;

Остальные три слагаемых получают аналогично, только рассуждения проводят для побочной диагонали.

Записанное правило называют правилом Саррюса.