Свойства определителей.

Свойство 1. Если определитель D содержит нулевой ряд (строку или столбец), то он равен нулю.

Доказательство. Разложим определитель по нулевому ряду (пусть, например, это i-я строка): Δ a_i1 A_i1+ a_i2 A_i2+ _… + a_in A_in= 0 A_i1+ 0 A_i2+ _… + 0A_in=0. Свойство доказано.

Свойство 2. Определитель треугольной матрицы, все элементы которой ниже (выше) главной диагонали равны 0, равен произведению элементов ее главной диагонали, т.е. =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_nn

Доказательство. Проведем индукцию по порядку n определителя.

1. Проверим при n=2. Из п.5 следует, что Δ = = =a₁₁⋅a₂₂, т.е утверждение верно при n=2.

2. Предположим, что при n=k утверждение верно, т.е определитель треугольной матрицы k- го порядка равен произведению ее диагональных элементов: =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_kk

3. Докажем, что при n=k+1 справедливо =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_(k+1)(k+1)

Разложим определитель D по (k+1)-й строке:
a_(k+1)1 A_(k+1)1+ a_(k+1)2 A_(k+1)2+ _… + a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)=

= 0 A_(k+1)1+ 0 A_(k+1)2+ _… + a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)= a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)

a_(k+1)(k+1)⋅(-1)^(k+1)+(k+1) M_(k+1)(k+1)= a_(k+1)(k+1)⋅(-1)^2(k+1)

= a_(k+1)(k+1)⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_kk)= a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_(k+1)(k+1). Значит, утверждение верно при n=k+1. Свойство доказано.

Свойство 3. При применении к матрице 1-го НЭП (умножения какой-либо строки на скаляр a) , её определитель умножится на a:

=a⋅ .

Иначе говоря, общий множитель a элементов i-ой строки можно вынести за знак определителя.

Свойство 4. При применении к матрице 2-го НЭП её определитель не изменяется.

Свойство 5. При перестановке двух различных параллельных рядов матрицы (двух строк или двух столбцов) её определитель меняет лишь знак.

Свойство 6. Если матрица содержит два одинаковых параллельных ряда (две одинаковых строки или два одинаковых столбца), её определитель равен 0.

Доказательство. Обозначим исходный определитель через D и рассмотрим определитель D₁, полученный перестановкой одинаковых параллельных рядов в D. С одной стороны, по свойству 5, D₁=-D. Но, поскольку переставленные ряды были одинаковы, то D₁=D. Складывая почленно полученные равенства, получим 2D₁=0, откуда D₁=0 и D=0. Что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если все элементы какого-либо ряда определителя (например, i-ой строки) являются суммой двух слагаемых a_ij=a_ij¢+a_ij¢¢, то D=D¢+D¢¢, где в i-ой строке D¢ находятся элементы a_ij¢, в i-ой строке D¢¢ находятся элементы a_ij¢¢, а остальные строки D¢ и D¢¢ совпадают с соответствующими строками в D:

= +

Свойство 8. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. |A^T|=|A|.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна 0, т е. при i¹j справедливо

a_i1 A_j1+ a_i2 A_j2+ _… + a_in A_jn=0;

a_1i A_1j + a_2i A_2j+ _… + a_ni A_nj=0.

8. Критерий вырожденности квадратной матрицы.

Теорема 5.Квадратная матрица А является вырожденной Û|A| = 0.

Доказательство.1.Необходимость. Пусть А – вырожденная матрица n- го порядка. По определению 8, п.3, r(A)<n. Значит при приведении А к ступенчатому виду А₁ с помощью НЭП количество ненулевых строк в А₁ будет меньше n, т.е. А₁ имеет нулевую строку. По свойству 4 определителей, при применении НЭП 2 определитель матрицы не изменяется, а по свойству 3, при применении НЭП 1 умножается на скаляр a¹0. Таким образом, после применения всех преобразований, |А| и |А₁| отличаются лишь некоторым ненулевым множителем b, т.е. |А₁|=b⋅|А|, b¹0. Но поскольку А₁ имеет нулевую строку, то по свойству 1 определителей, |А₁|=0 Þ b⋅|А|=0 Þ |А|=0. Что и требовалось доказать.

2. Достаточность. Пусть Δ=|A|=0. Допустим, что А – невырожденная матрица. Тогда, по теореме 1, п.3, с помощью НЭП 1 и НЭП 2 матрица А приводится к единичной матрице Е_n. Так как при НЭП 1 определитель матрицы умножается на α, а при НЭП 2 определитель матрицы не изменяется, то, аналогично рассуждениям выше, |E_n|=b⋅|А|, b¹0. Тогда из |A|=0 следует, что |E_n|=0. Противоречие. Следовательно, A – вырожденная матрица. Теорема доказана.