Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости импульсной системы по коэффициентам ее характеристического уравнения (2.20).

1) Критерий устойчивости Шура – Кона.Импульсная система устойчива, если определители

, ,

составленные из коэффициентов характеристического уравнения, удовлетворяют следующим неравенствам: , если – четное; , если – нечетное.

Пример 2.2. Определить устойчивость импульсной системы с характеристическим уравнением . Составим определители

, .

Так как , то система устойчива. Действительно, корни характеристического уравнения по модулю меньше 1.

2) Аналог критерия Гурвица.Чтобы воспользоваться известным критерием устойчивости Гурвица непрерывных систем для анализа устойчивости дискретных систем, сначала преобразуем исходное характеристическое уравнение (2.20). С этой целью используем билинейное преобразование

(2.22)

или обратное

, (2.23)

Рис. 2.22

Действительно, учитывая, что , где – оператор Лапласа (комплексная величина), и полагая , с помощью выражения получим

.

Таким образом, единичная окружность отображается в мнимую ось комплексной - плоскости. При этом область внутри единичной окружности соответствует левой половине - плоскости, а положительное направление мнимой оси соответствует диапазону частот ,

После подстановки выражения (2.22) в исходное характеристическое уравнение (2.20) и проведения преобразований, получим новое характеристическое уравнение относительно переменной :

, (2.24)

где коэффициенты зависят от коэффициентов . Тогда, если корни характеристического уравнения (2.24) удовлетворяют условию

, (2.25)

то корни характеристического уравнения (2.20) удовлетворяют неравенству (2.21), и наоборот. Условие устойчивости (2.25) проверяется с помощью критерия Гурвица, согласно которому все коэффициенты должны быть положительными, а главные диагональные миноры матрицы Гурвица

удовлетворяли неравенствам .

При использовании аналога критерия устойчивости Гурвица порядок раскрываемых определителей меньше порядка определителей в критерии Шура- Кона.

Пример 2.3. Найти условие устойчивости для импульсной системы с характеристическим уравнением

.

С помощью преобразования (2.22) получим уравнение , где , , . Условие положительности , , является необходимым и достаточным для выполнения условия , .

На рис. 2.23 приведена область устойчивости по коэффициентам при , соответствующая внутренней области треугольника. Отметим, что в отличие от условия устойчивости непрерывных систем второго порядка, в импульсных системах коэффициенты должны быть ограничены по величине. Это принципиальное отличие импульсных систем от непрерывных.

См. литературу: [1, с.69-72; 6, с.74-76; 17, с.45-48]

Вопросы для самопроверки

1. Решите пример 2.3 с помощью критерия Шура - Кона и сравните вычислительные затраты с критерием Гурвица.