И ее передаточной функции.

Рис. 2.17

Изображение выходного сигнала с учетом выражения (2.3) имеет вид

,

где – передаточная функция приведенной непрерывной части, – изображение переходной функции . Тогда получим

.

Изображению соответствует оригинал

, (2.7)

где – весовая функция приведенной непрерывной части. В отличие от весовой функции формирователя импульсов весовая функция изменяется на всем интервале времени и физически представляет собой реакцию непрерывной части с передаточной функцией на один прямоугольный импульс единичной амплитуды с длительностью . Из формулы (2.7) следует, что реакция выхода зависит только от значений входного сигнала в дискретные моменты времени и не зависит от его значений в промежутках времени . Отсюда следует, что реакция на любые сигналы , значения которых в моменты времени совпадают, будет одинакова. Поэтому входом считается сигнал , а не сигнал .

Использование формулы (2.7) для построения переходного процесса требует большого объема вычислений, поэтому на практике ограничиваются задачей нахождения последовательности значений функции в дискретные равноотстоящие моменты времени , где . В этом случае из формулы (2.7) получим

. (2.8)

Варьируя параметр можно найти значения функции для любого момента времени.

Для упрощения вычислений по формуле (2.8) воспользуемся модифицированным -преобразованием:

, (2.9)

,

в частном случае при следует основное -преобразование , . Тогда согласно теореме о свертке [8,11] из (2.8) получим

. (2.10)

Отсюда следует выражение для дискретной передаточной функции

,

которая равна отношению -преобразования выходной величины к -преоб­разованию входной при нулевых начальных условиях; при получим

.

Таким образом, для определения дискретной передаточной функции необходимо найти модифицированное - преобразование от весовой функции или передаточной функции .

Изображению при соответствует оригинал . Для наглядности сигнал на структурной схеме рис. 2.17 формируется с помощью фиктивного идеального импульсного элемент и фиктивного звена задержки с передаточной функцией , отмеченных пунктиром.

Воспользуемся формулой (2.10) для определения оригинала . Для этого по заданному входному сигналу найдем его изображение и с учетом выражения по формуле (2.10) найдем изображение . Для определения можно воспользоваться формулой теоремы о смещении аргумента оригинала [8,11]. В частном случае, когда , получим и, следовательно,

.

При получим

. (2.11)

Для упрощения процедуры определения проводят разложение на простейшие дроби. Поясним сказанное на примере.

Пример 2.1. Пусть передаточная функция непрерывной части имеет вид

.

Разложив дробь на простейшие дроби получим

.

Тогда и с помощью таблицы -изображений для типовых функций найдем

,

где .

В результате преобразований изображение приводится к виду , где порядок полинома числителя не превышает порядка полинома знаменателя дроби. Причем полином не зависит от , поскольку корни уравнения определяют вид функций, входящих в решение при любом . Тогда значения выходной величины находятся при помощи обратного -преобразования:

,

способы построения которого рассмотрены в [11].

Рассмотрим случай, когда в импульсной системе учитывается запаздывание . Если оно обусловлено конечной скоростью обработки информации для формирования импульсов, то величина не должна превосходить периода дискретности . Если запаздывание обусловлено свойствами непрерывной части, то величина может превышать величину . Для удобства расчета общее (суммарное) запаздывание относят к непрерывной части импульсной системы, при этом ее передаточная функция имеет вид

,

и определение дискретной передаточной функции проводится аналогично предыдущему.

Другой способ определения связан с решением разностного уравнения, которое восстанавливается с помощью формулы (2.10). Для этого представим

,

где , . Тогда из (2.10) получим выражение

, (2.12)

которому соответствует разностное уравнение

(2.13)

с характеристическим уравнением . С помощью замены переменной из уравнения (2.13) запишем решение

которое строится по заданным начальным условиям ,

; , последовательно для каждого значения .

См. литературу: [1, с.63-65; 6, с.44-49; 10, с.24-30; 11, с.86-91; 13, с.55-66]

Вопросы для самопроверки

1. В чем отличие реакции выхода непрерывной системы с заданной передаточной функцией от реакции выхода импульсной системы с той же передаточной функцией непрерывной части? В каком случае указанные реакции совпадают?

2. По формуле (2.9) найдите модифицированное - преобразование для функций , .