Классификация дискретных систем автоматического управления

Дискретные системы автоматического управления

В зависимости от способов преобразования сигналов САУ подразделяются на непрерывные и дискретные. В отличие от непрерывных систем в дискретных системах имеются элементы, превращающие непрерывные сигналы в последовательность импульсов или ряд квантованных сигналов. Такой процесс преобразования сигналов называется квантованием сигналов, а системы с импульсными элементами называются импульсными системами. Наличие квантованных сигналов вносит особенности в методы анализа и синтеза систем автоматического управления.

Классификация дискретных систем автоматического управления

Дискретные системы автоматического управления можно классифицировать по различным признакам. В зависимости от характера задающего воздействия дискретные САУ можно подразделить на: системы стабилизации, предназначенные для поддержания заданного значения выходной координаты, определяемого постоянным задающим воздействием; системы программного управления, воспроизводящие задающее воздействие, закон изменения которого во времени заранее известен, и следящие системы – их задающее воздействие представляет собой неизвестную функцию времени.

По принципу управления различают разомкнутые, замкнутые и комбинированные дискретные системы управления, когда для целей управления наряду со значениями выходных координат используют измеренные значения задающих и возмущающих воздействий.

Дискретные системы автоматического управления различают по виду квантования и модуляции сигналов. Различают три способа квантования сигналов: по времени; по уровню; смешанное по времени и уровню.

Квантование по уровню используется в релейных системах, где из непрерывного сигнала выделяются значения дискретных сигналов при достижении величины непрерывного сигнала равноотстоящих уровней (рис. 2.2).

Смешанное квантование происходит в цифровых автоматических системах (ЦАС), где преобразование непрерывного сигнала в дискретные проводится через равные промежутки времени , со значениями достигнутых равноотстоящих уровней (рис. 2.3, с отсечением дробной части).

По дискретным значениям исходного

или преобразованного сигнала формируются

В зависимости от того, какой из параметров прямоугольного импульса подвергается изменению в функции от величины непрерывного сигнала в дискретный момент времени, различают три вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ) при var, const (рис. 2.5); широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) при const, var (рис. 2.6); время - импульсную модуляцию (ВИМ) при const, =var, =const: за счет изменения фазы – фазоимпульсную модуляцию (ФИМ); за счет изменения частоты – частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ).

В отличие от рассмотренных выше типов импульсных систем с мгновенным временем съема сигнала (модуляцией I рода) существуют системы с конечным временем съема сигнала (модуляцией II рода). Такой вид амплитудно-импульсной модуляции может быть получен при использовании периодически замыкаемого ключа, представленного на рис.2.7. Здесь на выходе ключа через

Достоинством дискретных систем является: возможность управления

большими мощностями с высокой точностью; разделение во времени информационных сигналов при многоканальной передаче; возможность получения высокой точности и помехозащищенности за счет цифрового представления непрерывных сигналов; построение сложных законов управления при использовании ЦВМ в контуре управления. К недостаткам относится потеря информации о непрерывном сигнале в результате его квантования по времени или уровню, которая отражается на динамике системы.

В качестве примера на рис. 2.8 приведена функциональная схема одномерной ЦАС, которая включает в себя непрерывную часть системы, состоящую из объекта управления (ОУ), датчиков (Д), приводов исполнительных органов (ИО), и дискретную часть, реализованную в управляющей ЦВМ (УЦВМ). УЦВМ содержит преобразователи непрерывной (аналоговой) величины в код (АЦП), который поступает в ЦВМ для выработки управляющего сигнала. Цифровой сигнал с выхода ЦВМ проходит через преобразователь кода в непрерывную величину (ЦАП), который затем в виде импульсов поступает на непрерывную часть. Дискретность ввода и вывода информации в УЦВМ иллюстрируют импульсные элементы (ИЭ), работающие с периодом дискретности .

Процессы в дискретных системах описываются разностными и дифференциально-разностными уравнениями. Сточки зрения математических признаков различаются линейные и нелинейные дискретные системы, описываемые соответственно линейными и нелинейными уравнениями, а также стационарные и нестационарные дискретные системы, если коэффициенты их уравнений постоянны или зависят от времени.

Если для управления объектом с несколькими регулируемыми координатами используется несколько дискретных систем автоматического управления, в той или иной степени связанных между собой, то совокупность таких систем образует единую многомерную систему.

В дискретных САУ в ряде случаев используются различные импульсные элементы, периоды следования сигналов которых могут совпадать (синхронные системы)и различаться (асинхронные системы). Если периоды следования импульсов в различных точках системы кратны между собой, то такие системы называются многократными. Если в дискретной САУ все импульсные элементы срабатывают в одни и те же моменты времени, то такие системы называются синфазными, в противном случае несинфазными. Примером несинфазной системы является ЦАС с учетом запаздывания управляющего сигнала, вызванного конечной скоростью обработки информации в УЦВМ.

Далее рассматриваются стационарные одномерные, линейные и нелинейные синхронные импульсные системы.

См. литературу: [1, с.47-55; 6, с.5-11; 10, с.9-18; 11, с.12-19; 13, с.7-17].

Вопросы для самопроверки

1. В чем отличие непрерывных и импульсных систем? Приведите примеры технических систем.

2. Какие преимущества и недостатки имеют импульсные системы по сравнению с непрерывными системами?

3. Какими параметрами определятся импульсный элемент?

4. Перечислите основные виды модуляции и укажите в чем их различие?

5. В чем отличие импульсных систем 1-го и 2-го рода? Приведите примеры технических систем.

6. Почему системы автоматического управления с ЦВМ в контуре управления можно отнести к импульсным системам 1-го рода?

2.2. Линейные импульсные системы

Рассмотрим класс одномерных импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией без учета нелинейностей функциональных элементов. К одномерным системам относятся системы управления с одним входом и одним выходом.

2.2.1. Математическое описание процесса квантования и свойства импульсного элемента

Пусть задана функция , определенная для дискретных моментов времени , которая называется решетчатой функцией (ее аргумент в отличие от непрерывных функций заключен в квадратные скобки). Процесс формирования прямоугольных импульсов сигнала с постоянным периодом , шириной импульсов и амплитудой (рис.2.5) записывается следующим образом

(2.1)

Выражение (2.1) можно переписать в другом виде

, (2.2)

Импульсным системам 2-го рода (рис. 2.7) соответствует выражение

,

которое при малом значении приближенно заменяется выражением (2.2).

, (2.3)

где

передаточная функция формирователя импульсов (Ф), которой соответствует оригинал или весовая функция (рис. 2.10). Звено с передаточной функцией (2.4) также называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.

Изображению , с учетом равенства

,

соответствует оригинал

,

Отметим, что сигнал введен в результате математических преобразований и не имеет строгого физического смысла. Однако использование позволяет представить любой реальный импульсный элемент, формирующий импульсы произвольной формы, в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента и формирователя, весовая функция которого имеет заданную форму единичного импульса. При этом передаточную функцию формирователя можно отнести к непрерывной части системы и рассматривать импульсную систему как последовательное соединение идеального импульсного элемента и передаточной функции непрерывной части.

Для подтверждения сказанного, в качестве другого примера рассмотрим последовательность треугольных импульсов с амплитудой (рис.2.12), представленной в виде функции

,

где при , при , которой соответствует изображение

.

Здесь – передаточная функция формирователя треугольных импульсов с весовой функцией

,

Если дискретные значения , формируются из непрерывного сигнала , то для получения сигнала необходимо использовать устройство выборки значения и его хранения в течение времени согласно выражению (2.1). При этом также справедлива формула (2.3).

Рассмотрим свойства идеального импульсного элемента при квантовании непрерывного сигнала . На выходе идеального импульсного элемента формируется сигнал . Установим связь изображения Лапласа с изображением . Для этого функцию перепишем в другом виде, используя свойство:

.

Поскольку функция представляется степенным рядом, то ее можно считать полиномом бесконечно большой степени и воспользоваться формулой разложения, учитывая, что уравнение имеет различные корни Тогда с помощью теоремы разложения на простейшие дроби получим

,

где коэффициенты определяются по формуле [8]

.

С помощью обратного преобразования Лапласа найдем другой вид функции

.

Таким образом, изображение Лапласа можно записать в следующем виде

.

Учитывая свойство окончательно получим изображение сигнала на выходе идеального импульсного элемента

. (2.4)

Из выражения (2.4) следует, что для идеального импульсного элемента не удается определить передаточную функцию как отношение .

Изображение (2.4) обладает свойством , где – целое число. Действительно, это проверяется с помощью подстановки вместо в выражение , в результате чего получим

,

поскольку .

С помощью формулы (2.4) определим частотные свойства идеального импульсного элемента, полагая . Тогда получим

, (2.5)

. (2.6)

Отсюда следует, что спектр выходной величины идеального импульсного элемента пропорционален сумме смещенных спектров непрерывной входной величины и периодичен по частоте с "периодом", равным частоте квантования. При этом спектр полностью определяется диапазоном частот , называемый основной полосой, или в силу симметрии диапазоном . На рис.2.14 представлены соответствующие амплитудно-частотные характеристики. Из соотношения (2.6) следует, что наличие в спектре входного сигнала частоты , лежащей вне диапазона , вызывает такой же эффект, как частота , где – целое число такое, что , т.е. идеальный импульсный элемент осуществляет перенос, транспонирование частот в диапазон . Из соотношения (2.5) следует, что спектр входного сигнала на выходе идеального импульсного элемента искажается, т.е. квантование сопряжено с потерей информации.

На рис.2.15 приведен вид амплитудно-частотной характеристики, соот-

Рис. 2.14 Рис. 2.15

ветствующей ограниченному спектру с частотой среза , когда не происходит искажения спектра . Если сигнал подать на вход фильтра с передаточной функцией и частотной характеристикой идеального фильтра

то спектр сигнала на выходе фильтра с учетом (2.5) будет иметь вид

,

т.е. совпадает со спектром входного сигнала и, следовательно, .

Таким образом, в этом случае квантование по времени с частотой не приводит к потере информации: по дискретным значениям удается восстановить непрерывный сигнал . Этот вывод составляет содержание теоремы о квантовании и лежит в основе импульсных способов передачи и преобразования информации.

Если вместо идеального фильтра использовать фиксатор с передаточной функцией , амплитудно-частотная характеристика которого определяется по формуле

,

то очевидно, что спектр выходного сигнала будет искажаться (рис. 2.16). Кроме того, фиксатор вносит в систему фазовое запаздывание

,

которое необходимо учитывать при анализе устойчивости замкнутой системы. Зависимость представлена на рис.2.16, где ; разрывы характеристики следуют из построения АФЧХ .

На практике широкое распространение получили импульсные системы, в которых формируются прямоугольные импульсы с длительностью импульса . При этом последовательность импульсов можно рассматривать как приближенное представление непрерывного сигнала . При использовании экстраполирующих устройств более высокого порядка, позволяющих повысить точность приближенного описания за счет изменения фронта импульса, в систему вносится еще большее запаздывание. В связи с этим такие экстраполирующие устройства применяются относительно редко, поскольку требуемой точности представления сигнала с помощью прямоугольных импульсов можно добиться за счет уменьшения величины . Если величина стремится к нулю, то сигнал на выходе фиксатора (2.2) стремится к непрерывному сигналу . Это следует, например, из (2.3), (2.4) с учетом приближений , при малом значении :

.

Наряду с преобразованием Лапласа сигнала на выходе идеального импульсного элемента удобно использовать замену переменной с помощью обозначения или . Тогда изображение можно записать с помощью следующих эквивалентных обозначений:

,

которое называется односторонним – преобразованием функции . Тем самым для различным функциям , порождающим решетчатую функцию , соответствует одно и тоже изображение . Наоборот, изображению соответствует единственный оригинал , который может быть найден с помощью таблиц преобразований [7].

Зная изображение в виде дробно-рационального выражения, можно найти спектр (2.5) в конечной форме .

С помощью – преобразования удобно находить реакции импульсных систем, также как для непрерывных систем, с помощью преобразований Лапласа. При этом используются основные свойства – преобразования и таблицы преобразований, позволяющие определять вид решетчатой функции по ее изображению.

См. литературу: [6, с.11-19; 9, с.341-351; 10, с.19-24; 11, с.42-65; 13, с.51-55]

Вопросы для самопроверки

1. В чем смысл использования идеального импульсного элемента? Какую роль играет формирователь импульсов?

2. Запишите передаточную функцию для формирователя трапецеидальных импульсов?

3. Если на вход импульсного элемента подается высокочастотный сигнал, то какой частоты сигнал устанавливается на его выходе? Попробуйте объяснить данный эффект геометрически.

4. В каком случае по дискретным значениям сигнала на выходе импульсного элемента можно восстановить непрерывный сигнал на его входе?

5. Какими частотными свойствами обладает фиксатор нулевого порядка, и как они могут сказаться на динамике импульсной системы?