Методы вычисления ранга матрицы

1. Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k–го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры –го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор –го порядка, и вся процедура повторяется.

Пример.

Найти ранг матрицы А методом окаймляющих миноров, если

.

Решение.

Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля . Минор 3-го порядка , окаймляющий минор М₂, равен нулю. Рассмотрим другой минор третьего порядка, окаймляющий М₂:

. Так как мы нашли неравный нулю минор 3-го порядка, то rang A = 3.

2. Метод элементарных преобразований. Этот метод основан на том факте, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Под элементарными преобразованиями понимают:

1) замену строк столбцами, а столбцов соответствующими строками (транспонирование);

2) перестановку строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме , равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.

Пример.

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.

Решение.

Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью следующих элементарных преобразований. Поменяем местами 1-ую и 2-ую строки. Умножим элементы 1-ой строки на (-3) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки. Затем умножим элементы 1-ой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 3-ой строки:

Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, . Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2: rang A = 2.