Докажем к примеру, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Пусть задан определитель (1.5). Тогда имеем разложение (1.6)
.
Алгебраические дополнения 
, 
, 
не зависят от самих элементов 
, 
, 
. Поэтому если в обеих частях равенства (1.6) числа , , заменить произвольными числами 
, 
, 
, то получится верное равенство
(1.10).
Если теперь в равенстве (1.10) в качестве , , взять элементы 
, 
, 
второго столбца, то согласно свойству (3) определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.
