Оценка точности характеристик. Необходимое число реализаций

Точность характеристик, вычисленных методом Монте-Карло, будет тем выше, чем большее число испытаний будет проведено. Для оценки точности вводится величина погрешности £. Для определения связи между числом испытаний и точности оценки математического ожидания и вероятности р используется неравенство Чебышева, которое является одним из фундаментальных соотношений математической статистики.

Неравенство Чебышева вводится через лемму Чебышева: если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание и дисперсию DX, то для любого положительного e справедливо неравенство Чебышева:

Разновидности этого неравенства используются для оценки точности вычисления математического ожидания, дисперсии и вероятности. Как мы увидим ниже, величина погрешности e обратно пропорциональна корню из числа испытаний п.

Сформулируем задачу определения необходимого числа реализаций: сколько следует провести испытаний п, чтобы с достаточно высокой вероятностью (не меньшей g) быть уверенным в том, что погрешность e приближенного равенства при оценивании вероятности р (р = m/n, где р — вероятность наступления события, m — число наступления события в п испытаниях) и оценивании математического ожидания MX (MX = (X₁+X₂+ ...+X_n)/n) , будет незначительной.

Определение числа испытаний при оценивании математического ожидания. Для средней X имеет место неравенство Чебышева:

Дисперсия DX, как правило, заранее не известна. Однако всегда, хотя бы ориентировочно, можно указать ее верхнюю границу С. Тогда будет иметь место следующая цепочка неравенств:

.

Зададимся малым числом e и вероятностью g, с которой мы хотим гарантировать погрешность e. Кроме того, положим .

Решение этого равенства Отсюда при числе испытаний DX£C с вероятностью, не меньший g, можно быть уверенным в том, что абсолютная погрешность приближенного равенства MX»X не превысит e.

Определение числа испытаний при оценивании вероятности р. Для частности m/n имеет место неравенство Чебышева:

Нетрудно убедиться в том, что р(1–р)<1/4.

Поэтому справедлива следующая цепочка неравенств:

Зададимся малой погрешностью e и вероятностью g, гарантирующей эту погрешность.

Положим Решение этого равенства

Итак, при числе испытаний можно с вероятностью g быть уверенным в том, что абсолютная погрешность приближенного равенства р»m/n не превысит e.

Так как достаточно высокая точность решения при использовании метода статистических испытаний гарантируется, как правило, только при проведении большого числа испытаний, этот метод практически можно реализовать только на быстродействующих компьютерах. По этой причине метод статистических испытаний называют иногда "машинным".

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой метод статистических испытаний?

2. Какова основная идея метода Монте-Карло?

3. Как определяются характеристики стационарного случайного процесса?

4. Как оценить точность характеристик?

5. Как определяется число испытаний при оценивании математического ожидания?