Определение характеристик стационарного случайного процесса

Важнейшими характеристиками стационарного случайного процесса являются математическое ожидание и дисперсия.

Рассмотрим задачу, в которой метод статистических испытаний используется для определения математического ожидания.

Задача. Некоторое тело с равной вероятностью перемещается на единичное расстояние либо вправо, либо влево, либо вверх, либо вниз. Требуется оценить математическое ожидание MX расстояния тела от начального положения после k перемещений (расстояние от начального положения — величина случайная в силу случайности перемещений; обозначим его X).

Предположим, что в начальном положении тело имеет координаты х=0 и у=0. Будем одно перемещение имитировать двукратным подбрасыванием монеты. Условимся, что появление двух "гербов" означает движение тела вправо, что, в свою очередь, приводит к увеличению ее абсциссы х на единицу. Появление двух решек означает движение влево и, следовательно, абсциссы х частицы надо уменьшить на единицу. Появление при первом подбрасывании монеты "герба", а при втором — решки означает движение тела вверх, что приводит к увеличению его ординаты у на единицу. При появлении же сначала решки, а затем "герба" тело "движется" вниз и его ордината у уменьшается на единицу. Вероятности исходов, возможных при двукратном подбрасывании монеты, так же как и вероятности движения тела по любому из четырех направлений, равны 1/4.

Имитировать k перемещений будем подбрасыванием монеты 2k раз. При этом после каждых двух подбрасываний либо абсциссу х пересчитаем, либо ординату у тела. Смещение тела относительно начального положения после k перемещений равно .

Случайное испытание, состоящее в подбрасывании монеты 2k раз, повторим достаточно большое число п раз. Результатом i-гo испытания (i=1, 2,..., n) является "смещение" тела, равное Х_i. Вычислим среднее арифметическое этих смещений и примем его за приближенное значение математического ожидания MX, т.е.:

При соблюдении достаточно общих требований (испытания должны быть независимыми и приводиться в одинаковых условиях) средняя при достаточно большом числе испытаний является хорошим приближением математического ожидания MX.