Имитационное моделирование СМО

Современный этап развития народного хозяйства характеризуется все возрастающей активностью новых прогрессивных отраслей, что приводит к усилению взаимосвязей между отраслями и предприятиями. Сложность структуры и динамичность развития новых отраслей приводит к определенным трудностям при выборе наилучших вариантов управленческих решений из-за их разнообразия и количества. В таких случаях разработанные теоретические модели оказались малоэффективными, поэтому применяется метод имитационного моделирования. Он дает возможность широко использовать математический аппарат и вычислительную технику для исследования хода сложных экономических процессов. Основная характерная черта имитационного моделирования состоит в том, что изучаемое явление описывается наиболее точным способом.

Этапы разработки имитационной модели:

1. Исследование фактического протекания реального экономического процесса;

2. Выбор системы показателей, достаточно полной и пригодной для описания рассматриваемого процесса;

3. Разработка первоначальной (исходной) имитационной модели;

4. Исследование свойств имитационной модели методами математического анализа;

5. Реализация модели в виде программы на ПЭВМ на некоторых языках программирования;

6. Проведение серии расчетов с анализом результата;

7. Разработка выводов пригодности выбранной системы показателей и предложенной структуры модели для имитации данного процесса;

8. Выработка суждений о необходимости внесения корректив в исходную модель. Если коррективы вносятся, то возвращаются к этапу 4 или 5 и 6;

9. Если модель признается годной для имитационного процесса, то она используется для проведения массовых вариантных расчетов при разных значениях управляющих параметров с целью выбора наилучших из них.

Метод имитационного моделирования не является противопоставлением обычно применяемым методам математического моделирования экономических процессов, а есть дальнейшее развитие указанного подхода с учетом возможности более эффективного использования знаний и опыта специалистов по управлению и непосредственном взаимодействии с ПЭВМ. Метод имитационного моделирования используется для исследования процессов управления экологическими системами, для решения задач управления сложными автоматическими устройствами, решения проблемы рационального использования ресурсов, исследования СМО, для изучения различных вариантов целеобразования, принципов экономического стимулирования, финансирования и кредитования.

Под имитацией понимается изучение объектов исследования путем проведения экспериментов на ЭВМ с реализованными на них математическими моделями объектов.

При имитационном моделировании более адекватно отражаются реальные объекты, т.к. здесь нет необходимости делать значительное число упрощающих предположений, искажающих реальность. Например, при исследовании СМО показатели эффективности определяются в предположении, что интенсивность обслуживания для всех каналов одинакова, интенсивность входного потока постоянна. Для имитационного моделирования такие предположения делать не нужно.

Рассмотрим применение имитационного моделирования для исследования СМО на примере торгового предприятия. Пусть имеется двухканальная СМО, например, магазин с двумя кассами. Интенсивности обслуживания m₁=3чел/мин, m₂=4чел/мин для первой и второй касс соответственно. Интенсивность входного потока покупателей λ=5чел/сек . Датчик случайных чисел на ПЭВМ моделирует интервал времени между поступлениями соседних покупателей с заданным параметром λ и экспоненциальным законом распределения:

интервалы между соседними покупателями (сек.):9,3,16,8,7,10,15,20,5.

Этим же датчиком, настроенным на интенсивности m₁ и m₂ соответственно, моделируется время обслуживания покупателей 1 и 2 кассами:

Время обслуживания покупателей 1 кассой (сек.) 25,12,11,19,8,12,10…

Время обслуживания покупателей 2 кассой (сек.) 4,12,19,21,5,15,8…

Необходимо выполнить имитационный эксперимент, моделирующий функционирование СМО и вычислить на основании данных моделирования характеристики системы:

1. среднее время ожидания в очереди;

2. среднее время обслуживания покупателей;

3. среднюю долю времени простоя касс и сравнить ее с теоретической долей времени простоя, полагая, что кассы имеют одинаковую интенсивность обслуживания ;

4. построить графики работы обеих касс.

Решение:

Для удобства моделирования используем таблицу:

Предполагается, что обе кассы заняты, то покупатель становится в общую очередь. Первый человек обслуживается той кассой, которая первой освободилась. Если обе кассы свободны, то покупатель обслуживается первой кассой. В момент времени t=0 появляется первый покупатель, который обслуживается первой кассой за 25 сек. Закончится его обслуживание в t=0+25=25сек. Покупатель не ждет в очереди, т.к. касса свободна. Через 9сек. поступит второй покупатель, т.к. первая касса занята, то он обслуживается в свободной второй кассе за 4 сек., закончится обслуживание в момент t=9+4=13сек. Третий покупатель появится в момент t=12 сек., обе кассы окажутся занятыми, поэтому покупатель будет ожидать обслуживания 1 сек., когда освободится вторая касса. Он обслуживается в ней 12 сек. И закончится обслуживание в момент t=12+1+12=25сек. В момент t=28 сек. Появится четвертый покупатель, обе кассы свободны, поэтому он обслуживается в первой кассе за 12 сек., закончится обслуживание в момент t=28+12=40сек. Пятый покупатель приходит в t=36сек., свободной оказывается вторая касса, он обслуживается в ней за 19 сек., закончится обслуживание в t=36+19=55сек. В t=45сек. Поступает шестой покупатель. Свободна первая касса, он обслуживается в ней за 11 сек., закончится обслуживание в t=45+11=56сек.. В момент t=55сек. Приходит седьмой покупатель, свободна вторая касса. Покупатель обслуживается в ней за 21 сек., закончится обслуживание в момент t=55+21=76сек. Восьмой покупатель появляется в момент t=70сек., обслуживается в свободной первой кассе за 19 сек., обслуживание закончится в t=70+19=89сек. Девятый покупатель поступает в t=90сек., обе кассы свободны, поэтому он обслуживается в первой кассе за 8 сек., закончится его обслуживание в t=90+8=98сек. Десятый покупатель поступает в t=95сек., свободной оказывается вторая касса, где он и обслуживается за t=5сек., закончиться обслуживание в t=95+5=100сек.

Вычислим требуемые характеристики СМО:

1. Среднее ожидание в очереди :

равно сумме элементов третьей строки таблицы, деленной на число покупателей, т.е. =1/10=0,1 (сек.)

2. Среднее время обслуживания покупателей равно сумме элементов 4-ой и 6-ой строк, деленной на число покупателей, т.е.

=(25+12+11+19+8+4+12+19+21+5)/10=136/10=13,6

3. Средняя доля времени простоя Р_прост касс: Р_прост равна разности суммарного времени работы обеих касс (98+100) и суммарного времени обслуживания (136) покупателей, деленной на первую сумму:

Р_прост =((98+100)–136)/(98+100)=62/198=0,31, т.е. средняя доля времени простоя обеих касс составляет 31% всего времени их работы.

Вычислим теоретическую долю времени простоя касс по формулам: (для n=2):

,

где ,

вычислим

λ=5;

тогда a=5/3,5=1,43, Р₀=2–1,43/2+1,43=0,17

т.е. теоретическая вероятность простоя равна 0,29, из которых 0,17 составляет вероятность простоя обеих касс, т.е. Р₀. Имитационная оценка р=0,31. Расхождение объясняется малым числом покупателей в имитационном эксперименте.

Построим графики работы касс.

На оси OX откладывается время работы касс, а на оси ОY примем y=1, если касса работает и y= –1, если простаивает.

Замечание: для построения графика работы первой кассы необходимо учитывать значения из 2-ой и 5-ой строк имитационной таблицы, а для второй кассы — значения из 2-ой и7-ой строк.

График работы первой кассы:

y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x

–1

Простой 1-ой кассы равен 3+5+14+1=23(сек), а занятость 98–23=75 (сек).

.

График работы второй кассы:

y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x

–1

Простой второй кассы равен 9+11+19=39 (сек), а занятость 100–39=61 (сек).

.

Выводы: Обе кассы обслужили по 5 покупателей, закончили работу по обслуживанию потока из 10 покупателей почти одновременно (98сек. и 100сек.). Но по графикам и расчетам видно, что вторая касса работала быстрее, чем первая.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Что представляют собой системы массового обслуживания (СМО)?

2. Какие основные компоненты СМО вы знаете?

3. Какие типы каналов СМО вы знаете?

4. Что такое очередь?

5. Определите показатели эффективности работы АЗС с одной бензоколонкой при условии, что автомобили подъезжают на заправку с интенсивностью 40автом/час, а среднее время обслуживания одного автомобиля равно 1 минута.

6. Как изменятся показатели эффективности СМО из задачи 1, если на АЗС будет две бензоколонки?

7. Определить показатели эффективности работы стола заказов магазина, если заявки на обслуживание поступают с интенсивностью 30 заказов в час, а интенсивность обслуживания заявок равна 20 заказов в час для одного канала обслуживания.

8. В условиях задачи 3 определите показатели эффективности СМО с отказом, если имеется два канала обслуживания.

9. Средний интервал между соседними покупателями Т=90 секунд, а интенсивность обслуживания равна 100 покупателей в час. Определите показатели эффективности работы одного продавца.

10. Решите предыдущую задачу при условии, что продавцов будет два.

11. Выполните имитационный эксперимент, моделирующий работу магазина с двумя кассовыми аппаратами, если известны интервалы (в сек.) между поступлением покупателей, а также время обслуживания (в сек) покупателей каждым кассиром. Число покупателей равно 10. На основании данных моделирования определить:

1. среднее время ожидания в очереди покупателей;

2. среднее время обслуживания;

3. среднюю долю времени простоя касс и сравнить ее с теоретической долей времени простоя, полагая, что известны значения λ и μ₁, μ₂ причем μ=(μ₁₊μ₂)/2;

4. построить графики работы касс.