Экономико-математичесчкая постановка задачи управления товарными запасами на складе торговой фирмы для одной группы товаров

Для построения модели оптимального управления товарными запасами сделаем ряд предположений:

1. На складе хранятся товары только одной группы;

2. Спрос на товары известен и равномерен во времени;

3. Поступление товара происходит в строго заказанное время с постоянной нормой;

4. Стоимость складских операций состоит из затрат на заказ партии товара и на хранение запасов.

Введем обозначения:

С_х — затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

С_з — затраты на заказ партии товара;

r — норма спроса;

К — темп поступления товара;

U — количество товара, размещенного в единице емкости склада;

Q — емкость склада;

a — арендная плата за единицу объема дополнительного складского помещения в единицу времени;

q —объем заказанной партии q товара;

S — запас товара на складе.

Задача состоит в определении оптимального значения q, при котором минимизируются затраты на хранения товара и заказ партии товара за цикл Т:

1/2×С_х×S×T+C_з.

В этом случае затраты за единицу времени составят:

1/2×С_х×S+C_з/T.

Учитывая, что Т=q/r и S=(1–r/k) ×q получим целевую функцию

Найдя первую производную по q и приравняв ее к нулю, получим оптимальное значение q:

(7.1)

Тогда

(7.2)

Очевидно, что Q^*=S/U, необходимый объем складских помещений.

Если Q^*<Q, то задача решена.

В противном случае необходимо учитывать ограничение на емкость склада:

Задача нахождения условного экстремума решается с помощью функции Лагранжа, которая имеет вид:

где - множитель Лагранжа.

Дифференцируя эту функцию по переменным и и приравнивая производные нулю, получим:

(7.3)

(7.4)

(7.5)

Множитель Лагранжа l показывает условную арендную плату за единицу складской емкости.

Если арендная плата за единицу объема новых складских помещений a не превосходит величины l, т.е. a£l, то увеличение складской емкости экономически оправдано, т.е. уменьшаются затраты на складские операции в единицу времени. Если же a>l, то дополнительные складские помещения не уменьшают затрат и экономически невыгодны.

Пример:

Решить задачу управления товарными запасами для следующих данных:

C_x=0,02 тенге/кг в сутки;

C_з=60 тенге;

r=100 кг/сутки;

К=300 кг/сутки;

Q=100 м³;

a=0,02 тенге/м³ в сутки;

U=5 кг/м³.

Решение:

Находим оптимальный размер партии товара q по формуле (7.1):

Тогда оптимальный запас S будет равен:

Находим необходимый объем склада:

Q^*=632,7/5=126,5 (м³).

Т.к. Q^*> Q, поэтому необходимо решать задачу с учетом емкости склада. Вычисляем оптимальный размер партии товара по формуле (7.3):

Запас величиной в 500кг целиком поместится в складских помещениях объемом 100м³. находим условную арендную плату, т.е. множитель Лагранжа l по формуле (7.5):

Вывод: Арендная плата a=0,02 тенге/м в сутки не превышает условной арендной платы l=0,03, значит экономически выгодны, арендовать дополнительные складские помещения, т.к. это приведет к уменьшению затрат.

Проверим, этот вывод, вычислив значение целевой функции:

при q=949 кг и S=632,7 кг получим:

,

при q=750 кг и S=500 кг получим:

Таким образом С₁<C₂.

Расчеты подтверждают вывод о выгоде аренды дополнительных складских помещений, т.е. следует брать в качестве оптимального размера партии q=949 кг, а оптимального запаса товара S=632,7 кг.

При этом 500 кг запаса будет храниться в имеющейся емкости склада, а 132,7 кг необходимо поместить в арендуемые помещения.