Многоканальная СМО с очередью

Рассмотрим n-канальную СМО с неограниченной очередью. Интенсивность входного потока требований равна λ, а потока обслуживаний равна μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы этой СМО.

Система может находиться в одном из состояний:

S₀ — в системе нет требований (все каналы свободны);

S₁ — занят один канал, остальные свободны;

S₂ — занято два канала, остальные свободны;

S_k — занято k каналов, остальные свободны;

S_n — заняты все n каналов (очереди нет);

S_n₊₁ — заняты все n каналов, в очереди одно требование;

S_n₊_r заняты все n каналов, r требований стоит в очереди и т.д.

Интенсивность потока обслуживаний, переводящего систему из одного состояния в другое справа налево по мере увеличения числа требований от 0 до n, увеличивается от величины μ до u×μ, т.к. соответственно увеличивается число каналов обслуживания.

Граф состояний имеет вид:

λ λ λ λ λ λ

μ 2 μ 3 μ kμ (к+1)μ nμ

Предельные вероятности существуют, если a<n. В противном случае очередь растет до бесконечности. Предельные вероятности состояний СМО находятся по формулам:

(6.22)

(6.23)

Вероятность того, что требование окажется в очереди:

(6.24)

Среднее число занятых каналов:

. (6.25)

Средняя длина очереди:

(6.26)

Среднее число требований в системе:

(6.27)

Среднее время пребывания требования в системе и среднее время пребывания в очереди находятся по формулам (6.20) и (6.21).

Запишем формулы (6.22), (6.24) и (6.26) для двухканальной системы, т.е. когда n=2:

, (6.28)

(6.29)

(6.30)

Пример: В отдел универмага с двумя кассами поступает поток покупателей с интенсивностью 54 покупателя в час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя равна 2 минуты. Определить показатели эффективности работы кассиров.

Решение: n=2, l=54 покуп/час, t=2мин.

l=54/60=0,9покуп/мин, a=l×t=0,9×2=1,8.

Т.к. a=1,8<n=2, то очередь не будет расти до бесконечности и предельные вероятности существуют. Находим показатели эффективности работы СМО для n=2.

1. Вероятность того, что в кассах отсутствуют покупатели, т.е. вероятность простоя СМО определим по формуле (6.28): т.е. в среднем 5,3% времени оба кассира будут простаивать.

2. Вероятность того, что в кассах будет очередь, вычисляется по формуле (6.29) и равна: или

3. Средняя длина очереди, исходя из формулы (6.30) равна:

4. Среднее время ожидания в очереди вычисляется по формуле (6.21):

5. Среднее число покупателей в системе вычисляется по формуле (6.27):

6. Среднее время прохождения покупателей в системе вычисляется по формуле (6.20):

7. Среднее число занятых каналов вычисляется по формуле (6.25):

По проведенным расчетам видно, что два кассира будут плохо справляться с обслуживанием потока покупателей из-за перегруженности работой. Кроме того, средняя длина очереди около 8 покупателей, а среднее время ожидания в очереди 8,5 минут. Выход можно найти либо сокращая время обслужвания одного покупателя, либо в установлении еще огдной кассы.